Lời giải Ví dụ 2 Các dạng toán thường gặp trong đề thi tuyển sinh vào 10

Bài làm:

Đề ra :

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường thằng (d) : $y=3x+m^{2}-1$ và parabol (P) : $y = x^{2}$ .

a. Chứng minh rằng (d) luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt với mọi m .

b. Gọi $x_{1},x_{2}$ là hoành độ các giao điểm của (d) và (P) . Tìm m để $(x_{1} + 1) (x_{2} + 1) = 1$ .

< Trích đề thi tuyển sinh vào 10 THPT , TP Hà Nội năm 2016 - 2017 >

Lời giải chi tiết :

Ta có :

Phương trình hoành độ giao điểm của (d) và (P) là : $x^{2}=3x+m^{2}-1$

<=> $x^{2}-3x-m^{2}+1=0$ (*)

a. Để (d) luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt với mọi m <=> $\Delta > 0,\forall m$

Ta có : $\Delta =(-3)^{2}-4.(-m^{2}+1)=9+4m^{2}-4=4m^{2}+5$

Vì $\Delta =4m^{2}+5> 0,\forall m$

=> Phương trình (*) luôn có hai nghiệm phân biệt .

=> (d) luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt với mọi m . ( đpcm )

b. Giả sử (*) luôn có hai nghiệm $x_{1},x_{2}$ . Theo hệ thức Vi-et , ta có :

$\left\{\begin{matrix}x_{1}+x_{2}=3 & \\ x_{1}.x_{2}=-m^{2}+1 & \end{matrix}\right.$

Do đó : $(x_{1}+1)(x_{2}+1)=1$ .

<=> $x_{1}.x_{2}+x_{1}+x_{2}+1=1$

<=> $-m^{2}+1+3+1=1<=>m^{2}=4=> m=\pm 2$

Vậy $m=\pm 2$ thì $(x_{1} + 1) (x_{2} + 1) = 1$ .

Cập nhật: 07/09/2021

Xem thêm bài viết khác