Đáp án câu 3 đề 8 kiểm tra học kì 2 Toán 9

Câu 3(1,5 điểm): Cho phương trình: $x^{2} + (m - 1)x - m^{2} - 2 = 0$ (1), m là tham số thực.

a, Chứng minh phương trình (1) luôn có hai nghiệm trái dấu $x_{1}, x_{2}$ với mọi giá trị của m.

b, Tìm m để T = $\left ( \frac{x_{1}}{x_{2}} \right )^{3} + \left ( \frac{x_{2}}{x_{1}} \right )^{3}$ đạt giá trị lớn nhất.

Bài làm:

a, $x^{2} + (m - 1)x - m^{2} - 2 = 0$ (1)

Phương trình (1) là phương trình bậc 2 có hệ số a.c = $1.(-m^{2} - 2) = -m^{2} - 2 < 0 \forall m$

Do đó phương trình (1) luôn có hai nghiệm trái dấu $x_{1}, x_{2}$ với mọi giá trị của m.

b, Theo định lí vi-ét ta có: $\left\{\begin{matrix}x_{1} + x_{2} = 1 - m\\ x_{1}x_{2} = -m^{2} - 2\end{matrix}\right.$

Đặt t = $\frac{x_{1}}{x_{2}} + \frac{x_{2}}{x_{1}} = \frac{x^{2}_{1}+x^{2}_{2}}{x_{1}x_{2}} = \frac{(x_{1} + x_{2})^{2}}{x_{1}x_{2}} - 2$

$\Rightarrow t = \frac{(1 - m)^{2}}{-m^{2} - 2} \leq -2 \forall m$

Ta có:

T = $\left ( \frac{x_{1}}{x_{2}} \right )^{3} + \left ( \frac{x_{2}}{x_{1}} \right )^{3}$

= $\left ( \frac{x_{1}}{x_{2}} + \frac{x_{2}}{x_{1}} \right )^{3} + 3.\left ( \frac{x_{1}}{x_{2}} + \frac{x_{2}}{x_{1}} \right )$

= $t^{3} - 3t$

Có t $\leq$ -2 $\Rightarrow t^{2} \geq 4 \Rightarrow t^{2} - 3 \geq 1$

Mà t $\leq$ -2 $\Rightarrow T$ $\leq$ -2. 1 = -2

Vậy Max T = -2 khi t = -2 $\Rightarrow$ m = 1

Cập nhật: 08/09/2021

Xem thêm bài viết khác