Đáp án câu 5 đề 4 kiểm tra học kì 2 Toán 9

Câu 5(1 điểm): Cho x, y dương thỏa mãn x + y = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = $\frac{x}{\sqrt{1-x}} + \frac{y}{1-y}$

Bài làm:

Ta có: x + y = 1 $\Rightarrow \left\{\begin{matrix}x = 1 - y > 0\\ y = 1 - x > 0\end{matrix}\right.$

$\Rightarrow \left\{\begin{matrix}\sqrt{x} = \sqrt{1 - y} > 0\\ \sqrt{y} = \sqrt{1 - x} > 0\end{matrix}\right.$

$\Rightarrow P = \frac{1-y}{\sqrt{y}} + \frac{1-x}{\sqrt{x}} = \left (\frac{1}{\sqrt{x}} + \frac{1}{\sqrt{y}} \right ) - (\sqrt{x} + \sqrt{y})$

Lại có $xy \leq \left ( \frac{x+y}{2} \right )^{2} = \frac{1}{4} \Rightarrow \frac{1}{xy} \geq 4 (x, y > 0)$ $\Rightarrow \frac{1}{\sqrt{xy}} \geq 2$

Dấu "=" xảy ra khi x = y

$\Rightarrow \left ( \frac{1}{\sqrt{x}} + \frac{1}{\sqrt{y}} \right ) \geq 2\sqrt{\frac{1}{\sqrt{xy}}} \geq 2\sqrt{2}$

Mặt khác $(1.\sqrt{x} + 1\sqrt{y})^{2} \leq (1 + 1)(x + y) = 2$

$\Rightarrow \sqrt{x} + \sqrt{y} \leq \sqrt{2}$

Dấu "=" xảy ra khi x = y

Do đó: $P \geq 2\sqrt{2} - \sqrt{2} = \sqrt{2}$

Vậy Min P = $\sqrt{2}$ khi x = y = $\frac{1}{2}$

Cập nhật: 08/09/2021

Xem thêm bài viết khác