Giải câu 2 đề 5 ôn thi toán lớp 9 lên 10

1 Đánh giá

Bài 2: (2,0 điểm)

Cho Parabol $(P) y = x^{2}$ và đường thẳng $(d) y = (2m - 1)x - m + 2$ (m là tham số)

a. Vẽ đồ thị hàm số P

b. Chứng minh rằng với mọi m đường thẳng (d) luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt. Tìm các giá trị của m để đường thẳng (d) luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt $A(x_{1}; y_{1})$ và $B(x_{2};y_{2})$ thỏa $x_{1}y_{1} + x_{2}y_{2} = 0$

Bài làm:

a. $(P) y = x^{2}$

Bảng giá trị

$x$	-2	-1	0	1	2
$y = x^{2}$	4	1	0	1	4

Đồ thị (P) là đường parabol nằm phía trên trục hoành, nhận trục Oy làm trục đối xứng và nhận điểm O (0,0) là đỉnh và điểm thấp nhất.

Phương trình hoành độ giao điểm của (P) và (d) là:

$x^{2} = (2m - 1)x - m + 2$

<=> $x^{2} - (2m - 1)x + m - 2 = 0$

δ = $(2m - 1)^{2} - 4(m - 2) = 4m^{2} - 8m + 10 = 4(m - 1)^{2} + 6 > 0 ∀m$

Vậy phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi m

Theo định lí Vi-et ta có:

$\left\{\begin{matrix}x_{1}+x_{2}= 2m - 1& & \\ x_{1}x_{2} = m - 2& & \end{matrix}\right.$

ta có: $y_{1} = (2m - 1) x_{1} - m + 2$

$y_{2} = (2m - 1) x_{2} - m + 2$

Khi đó:

$x_{1} y_{1} + x_{2} y_{2} = x_{1} [(2m - 1)x_{1} - m + 2] + x_{2} [(2m - 1)x_{2} - m + 2]$

$=(2m - 1)(x_{1}^{2} + x_{2}^{2} ) + (2 - m)(x_{1} + x_{2} )$

$=(2m - 1)[(x_{1} + x_{2} )^{2}-2x_{1} x_{2} ] + (2 - m)(x_{1} + x_{2} )$

$=(2m - 1)[(2m-1)^{2} - 2(m - 2)] + (2 - m)(2m - 1)$

$=(2m - 1)^{3} - (2 - m)(2m - 1)$

$=(2m - 1)[(2m - 1)^{2} - (2 - m)]$

$=(2m - 1)(4m^{2} - 3m - 1)$

Theo bài ra: $x_{1}y_{1} + x_{2}y_{2} = 0$

<=> $(2m - 1)(4m^{2} - 3m - 1) = 0$

$\left\{\begin{matrix}2m - 1 = 0& & \\ 4m^{2} - 3m - 1 = 0& & \end{matrix}\right.$

=> $m=\frac{1}{2}$ , $m= 1$, $m= -\frac{1}{4}$

10 lượt xem

Cập nhật: 07/09/2021

Xem thêm bài viết khác

Xem thêm Ôn toán 9 lên 10