Giải câu 4 đề 7 ôn thi toán lớp 9 lên 10

Bài 4: (3,5 điểm)

Cho tam giác nhọn ABC (AB < AC) nội tiếp đường tròn (O) có các đường cao AD, BE, CF, trực tâm H. Gọi I, K lần lượt là các trung điểm của các đoạn BC và AH

a. Chứng minh tứ giác BFEC và BFHD nội tiếp

b. Chứng minh DH. DA = DB. DC

c. Chứng minh 5 điểm E, K, F, D, I thuộc một đường tròn

d. Đường thẳng EF cắt BC tại M. Chứng minh

Bài làm:

Hình vẽ:

a. Xét tứ giác BFEC có:

∠BFC = (CF là đường cao)

∠BEC = (BE là đường cao)

=> 2 đỉnh E và F cùng nhìn cạnh BC dưới 2 góc bằng nhau

=> Tứ giác BFEC là tứ giác nội tiếp

Xét tứ giác BFHD có:

∠BFH = (CF là đường cao)

∠BDH = (AD là đường cao)

=> ∠BFH + ∠BDH = 180o

=> Tứ giác BFHD là tứ giác nội tiếp

b. Xét ΔDHC và ΔDBA có:

∠HDC = ∠BDA = 90o

∠DHC = ∠DBA ( cùng bù với góc ∠FHD )

=> ΔDHC ∼ ΔDBA (g.g)

=> DH.DA = DC.DB

c) Ta có: ∠KDI = (AD là đường cao)

=> D thuộc đường tròn đường kính KI (1)

Tam giác AFH vuông tại F có FK là trung tuyến nên KF = KH

Do đó ΔKFH cân tại K => ∠KFH = ∠KHF

Mà ∠KHF = ∠CHD (đối đỉnh) => ∠KFH = ∠CHD

Tương tự ΔICF cân tại C (do IF = IC) => ∠IFC = ∠ICF

Từ đó: ∠KFI = ∠KFH + ∠IFC = ∠CHD + ∠ICF = (ΔDHC vuông tại D)

=> F thuộc đường tròn đường kính KI (2)

Chứng minh tương tự ∠KEI = nên E thuộc đường tròn đường kính KI (3)

Từ (1), (2), (3): 5 điểm K, F, D, I, E thuộc đường tròn đường kính KI

d) Xét ΔMFB và ΔMCE có:

là góc chung

(tứ giác BFEC nội tiếp)

=> ΔMFB ∼ ΔMCE

=> MF.ME = MB.MC

Chứng minh tương tự: ME. MF = MD. MI

Từ đó: MB.MC = MD. MI

Vậy: