Giải câu 5 trang 127 toán VNEN 8 tập 1

Câu 5: Trang 127 toán VNEN 8 tập 1

Cho tam giác ABC và điểm M bất kì nằm trong tam giác đó. Kẻ các đường cao của tam giác đó là AD, BE, CF. Đường thẳng đi qua điểm M và song song với AD cắt cạnh BC tại điểm H. Đường thẳng đi qua điểm M và song song với BE cắt cạnh AC tại điểm K.Đường thẳng đi qua điểm M và song song với CF cắt cạnh BA tại điểm T. Chứng minh rằng + $\frac{MK}{BE}$ + $\frac{MT}{CF}$ = 1.

Bài làm:

Gọi diện tích các hình tam giác ABC, MAB, MAC, MBC lần lượt là S, S, S${}_2$, S${}_3$.

Ta có: S = S + S${}_2$ + S${}_3$.

Trong đó: S = = $\frac{BE.AC}{2}$ = $\frac{CF.AB}{2}$;

S = $\frac{MT.AB}{2}$; S${}_2$ = $\frac{MK.AC}{2}$; S${}_3$ = $\frac{MH.BC}{2}$.

Lại có:

= $\frac{\frac{MT.AB}{2}}{\frac{CF.AB}{2}}$ = $\frac{MT}{CF}$

= $\frac{\frac{MK.AC}{2}}{\frac{BE.AC}{2}}$ = $\frac{MK}{BE}$

= $\frac{\frac{MH.CB}{2}}{\frac{AD.CB}{2}}$ = $\frac{MH}{AD}$

$\frac{MH}{AD}$ + $\frac{MK}{BE}$ + $\frac{MT}{CF}$ = $\frac{S_1}{S}$ + $\frac{S_2}{S}$ + $\frac{S_3}{S}$ = $\frac{S_1+S_2+S_3}{S}$ = $\frac{S}{S}$ = 1 (đpcm).