Lời giải Bài 3 Đề thi thử trường THPT chuyên Đà Nẵng

Bài làm:

Lời giải bài 3:

Cho các số thực dương a , b , c thỏa mãn $a^{2}+b^{2}+c^{2}=3$

Chứng minh : $\frac{2a^{2}}{a+b^{2}}+\frac{2b^{2}}{b+c^{2}}+\frac{2c^{2}}{c+a^{2}}\geq a+b+c$

Ta có : $a^{2}+b^{2}+c^{2}=3$

Mà $a^{2}+b^{2}+c^{2}\geq \frac{1}{3}\sqrt{(a^{2}+b^{2}+c^{2})^{2}}

=> $a+b+c\leq 3$

Gọi $\frac{2a^{2}}{a+b^{2}}+\frac{2b^{2}}{b+c^{2}}+\frac{2c^{2}}{c+a^{2}}$ = VT

<=> VT = $\frac{4a^{4}}{(2a^{3}+2a^{2}b^{2})}+\frac{4b^{4}}{(2b^{3}+2b^{2}c^{2})}+\frac{4c^{4}}{(2c^{3}+2c^{2}a^{2})}$

<=> VT $\geq$ $\frac{(2a^{2}+2b^{2}+2c^{2})^{2}}{2a^{3}+2b^{3}+2c^{3}+2a^{2}b^{2}+2b^{2}c^{2}+2c^{2}a^{2}}$

<=> VT $\geq$ $\frac{(2a^{2}+2b^{2}+2c^{2})^{2}}{(a^{2}+b^{2}+c^{2})^{2}+a^{2}+b^{2}+c^{2}}$

<=> VT $\geq$ $\frac{36}{9+3}=3\geq a+b+c$

=> $\frac{2a^{2}}{a+b^{2}}+\frac{2b^{2}}{b+c^{2}}+\frac{2c^{2}}{c+a^{2}}\geq a+b+c$ ( đpcm ) .

Cập nhật: 07/09/2021