Lời giải Bài 5 Đề thi thử lên lớp 10 môn toán lần 3 năm 2017 của trường THPT chuyên Sư Phạm Hà Nội

Bài làm:

Đề bài :

Cho $\triangle ABC$ .Chứng minh rằng :

a. $\sin \frac{A}{2}.\sin \frac{B}{2}.\sin \frac{C}{2}\leq \frac{1}{8}$ .

b. $\cos A+\cos B+\cos C\leq \frac{3}{2}$ .

Hướng dẫn giải chi tiết :

a. $\sin \frac{A}{2}.\sin \frac{B}{2}.\sin \frac{C}{2}\leq \frac{1}{8}$ .

<=> $8\sin \frac{A}{2}.\sin \frac{B}{2}.\sin \frac{C}{2}\leq 1$ .

Xét $P=8\sin \frac{A}{2}.\sin \frac{B}{2}.\sin \frac{C}{2}$ .

<=> $P=4\sin \frac{C}{2}(\cos \frac{A-B}{2}-\cos \frac{A+B}{2})$ .

<=> $P=4\sin \frac{C}{2}(\cos \frac{A-B}{2}-\sin \frac{C}{2})$ .

=> $4\sin ^{2}\frac{C}{2}-4\cos \frac{A-B}{2}.\sin \frac{C}{2}+P=0$ . (1)

Phương trình (1) có nghiệm <=> $\Delta {}' \geq 0$

<=> $4\cos ^{2}\frac{A-B}{2}-4P\geq 0$

=> $P\leq \cos ^{2}\frac{A-B}{2}\leq 1$

=> $\sin \frac{A}{2}.\sin \frac{B}{2}.\sin \frac{C}{2}\leq \frac{1}{8}$ . (đpcm)

b. Đặt Q= $\cos A+\cos B+\cos C$

<=> $Q=2\cos \frac{A+B}{2}.\cos \frac{A-B}{2}+1-2\sin ^{2}\frac{C}{2}$

=> $2\sin ^{2}\frac{C}{2}-2\cos \frac{A-B}{2}.\sin \frac{C}{2}+Q-1=0$ (2)

Phương trình (2) có nghiệm <=> $\Delta {}' \geq 0$

<=> $\cos ^{2}\frac{A-B}{2}-2(Q-1)\geq 0$

<=> $Q\leq 1+\frac{1}{2}\cos ^{2}\frac{A-B}{2}\leq 1+\frac{1}{2}=\frac{3}{2}$

=> $\cos A+\cos B+\cos C\leq \frac{3}{2}$ . (đpcm)

Cập nhật: 07/09/2021

Xem thêm bài viết khác