Lời giải Bài 1 Đề thi thử lên lớp 10 môn toán lần 1 năm 2017 của Trường THPT chuyên Thái Bình

Bài làm:

Lời giải bài 1 :

a) Giải hệ phương trình sau : $\left\{\begin{matrix}2x-y=3 & \\ x+2y=-1 & \end{matrix}\right.$

b) Cho hàm số $y=\frac{x+1}{x^{2}+a}$ .Tìm điều kiện của a để miền giá trị của hàm số $[\begin{matrix} 0, 1 \end{matrix}]$ .

a. $\left\{\begin{matrix}x+y=x+1 & \\ x-3y=2 & \end{matrix}\right.$

<=> $\left\{\begin{matrix}y=1 & \\ x-3y=2 & \end{matrix}\right.$

<=> $\left\{\begin{matrix}y=1 & \\ x-3=2 & \end{matrix}\right.$

<=> $\left\{\begin{matrix}y=1 & \\ x=5 & \end{matrix}\right.$

Vậy hệ phương trình có nghiệm là $(x,y)=(5,1)$ .

b. $y=\frac{x+1}{x^{2}+a}$

Đk : $x^{2}\neq -a$

Gọi T là miền giá trị của hàm số => Tồn tại ít nhất 1 số $y_{0}\in T$ sao cho : $y_{0} = \frac{x + 1}{x^{2} + a}$ có nghiệm .

<=> $y_{0}x^{2}+ay_{0}=x+1$

<=> $y_{0}x^{2}-x+ay_{0}-1=0$ (1)

Nếu $y_{0}=0$ ,(1) => x = -1 .Với Đk : $x^{2} \neq - a$ <=> $a \neq - 1$

Nếu $y_{0}\neq 0$ , (1) có nghiệm <=> $Δ^{'} \geq 0$

<=> $1-4y_{0}(ay_{0}-1)\geq 0$

<=> $4ay_{0}^{2}-4y_{0}-1\leq 0$ (2)

+ Với a = 0 , (2) => $y_{0}\geq \frac{-1}{4}$ chứa $[\begin{matrix} 0, 1 \end{matrix}]$ .

=> a = 0 ( thỏa mãn ) .

+ Với a > 0 , (2) <=> $\frac{1-\sqrt{1+a}}{2a}\leq y\leq \frac{1+\sqrt{1+a}}{2a} (\Delta {}'=4(1+a))$

Để miền giá trị chứa $\begin{bmatrix}0,1\end{bmatrix}$ thì :

$\left\{\begin{matrix}\frac{1-\sqrt{1+a}}{2a}\leq 0 & \\ \frac{1+\sqrt{1+a}}{2a} \geq 1& \end{matrix}\right.$

<=> $\left\{\begin{matrix}\sqrt{1+a}\geq 1 (luôn đúng ) & \\ \sqrt{1+a}\geq 2a-1 (*) & \end{matrix}\right.$

(*) <=> Hoặc $2a-1\leq 0$ hoặc ${\begin{matrix} a + 1 \geq (2 a - 1)^{2} \\ 2 a - 1 \geq 0 \end{matrix}$

<=> Hoặc $a\leq \frac{1}{2}$ hoặc ${\begin{matrix} a \geq \frac{1}{2} \\ 4 a^{2} - 5 a \leq 0 \end{matrix}$

<=> Hoặc $a\leq \frac{1}{2}$ hoặc $\left\{\begin{matrix}a\geq \frac{1}{2} & \ 0

<=> Hoặc $a\leq \frac{1}{2}$ hoặc $\frac{1}{2} \leq a \leq \frac{5}{4}$

<=> $a\leq \frac{5}{4}$ . (3)

Với a < 0 , $a\leq -1$ => $Δ^{'} = 2 (1 + a) \leq 0$ => (2) luôn đúng .

=> $a\leq -1$ ( thỏa mãn ) .

Với a < 0 , $-1<a<0$ ,Để miền giá trị này chứa (0 , 1) thì :

$\frac{1-\sqrt{1+a}}{2a} \leq 0$

<=> $\sqrt{1+a}\leq 1$

<=> a < 0 . (4)

Từ (3) ,(4) => Giá trị của a thỏa mãn bài ra là : $\left\{\begin{matrix}a\leq \frac{5}{4} & \\ a\neq -1 & \end{matrix}\right.$

Cập nhật: 07/09/2021