Lời giải Câu 2 Đề thi thử lên lớp 10 môn toán năm 2017 của trường THPT chuyên Nguyễn Trãi

1 Đánh giá

Bài làm:

Lời giải câu 2 :

Đề bài :

a. Giải phương trình : $x^{2}+6=4\sqrt{x^{3}-2x^{2}+3}$

b. Giải hệ phương trình :

$\left\{\begin{matrix}(x+\sqrt{x^{2}+2x+2}+1)(y+\sqrt{y^{2}+1})=1 & \\ x^{2}-3xy-y^{2} =3& \end{matrix}\right.$

Hướng dẫn giải chi tiết :

a. $x^{2}+6=4\sqrt{x^{3}-2x^{2}+3}$ (1)

Đk : $x\geq -1$

Từ (1) <=> $(x^{2}-3x+3)+3(x+1)$

<=> $4\sqrt{(x+1)(x^{2}-3x+3)}$ (2)

Vì $x^{2}-3x+3> 0$ , (2) <=> $1+\frac{3(x+1)}{x^{2}-3x+3}=4\sqrt{\frac{x+1}{x^{2}-3x+3}}$ (*)

Đặt $t=\sqrt{\frac{x+1}{x^{2}-3x+3}}$ ( $t\geq 0$ )

(*) <=> $1+3t^{2}=4t$

<=> $3t^{2}-4t+1=0$

<=> Hoặc t = 1 hoặc $t=\frac{1}{3}$ (thỏa mãn )

+ Với t = 1 <=> $\sqrt{\frac{x+1}{x^{2}-3x+3}}=1$

<=> $x^{2}-4x+2=0<=> x=2\pm \sqrt{2}$

+ Với $t=\frac{1}{3}$ <=> $\sqrt{\frac{x+1}{x^{2}-3x+3}}=\frac{1}{3} $

<=> $x^{2}-12x-6=0<=> x= 6\pm \sqrt{42}$

Vậy phương trình có nghiệm : $x=2\pm \sqrt{2}$ ; $x= 6\pm \sqrt{42}$ .

b. $\left\{\begin{matrix}(x+\sqrt{x^{2}+2x+2}+1)(y+\sqrt{y^{2}+1})=1 (1) & \\ x^{2}-3xy-y^{2} =3 (2)& \end{matrix}\right.$

Từ (1) <=> $(x+\sqrt{x^{2}+2x+2}+1)(\sqrt{y^{2}+1)}+y)(\sqrt{y^{2}+1}-y)=(\sqrt{y^{2}+1}-y)$

Vì $\sqrt{y^{2}+1}-y\neq 0(\forall y)$

<=> $x+1+\sqrt{(x+1)^{2}+1}=-y+\sqrt{y^{2}+1}$

<=> $x+y+1+\frac{(x+1)^{2}-y^{2}}{\sqrt{(x+1)^{2}+1}+\sqrt{y^{2}+1}}=0$

<=> $(x+y+1)(1+\frac{x+1-y}{\sqrt{(x+1)^{2}+1}+\sqrt{y^{2}+1}})=0$

<=> Hoặc x + y + 1 = 0 (*) hoặc $1+\frac{x+1-y}{\sqrt{(x+1)^{2}+1}+\sqrt{y^{2}+1}}=0$ (**)

Do $\sqrt{(x+1)^{2}+1}> \mid x+1\mid \geq x+1( \forall x)$

$\sqrt{y^{2}+1}> \mid y\mid \geq -y (\forall y)$

=> (**) vô nghiệm .

Từ (*) <=> y = -x - 1 thay vào (2) ta được : x = 1 hoặc $x=\frac{-4}{3}$

+ Với x = 1 => y = -2.

+ Với $x=\frac{-4}{3}$ => $y=\frac{1}{3}$ .

Vậy hệ phương trình có nghiệm (x ; y ) = (1; -2 ) và (x; y )= ( $\frac{-4}{3};\frac{1}{3}$ ).

lượt xem

Cập nhật: 07/09/2021

Xem thêm bài viết khác

Xem thêm Tuyển tập đề thi lên lớp 10 chuyên Toán