Giải câu 37 Bài: Luyện tập sgk Toán 9 tập 2 Trang 126

Câu 37: Trang 126 - SGK Toán 9 tập 2

Cho nửa đường tròn tâm , đường kính $AB=2R$, $Ax$ và $By$ là hai tiếp tuyến với nửa đường tròn tại $A$ và $B$. Lấy trên tia $Ax$ điểm $M$ rồi vẽ tiếp tuyến $MP$ cắt $By$ tại $N$.

a) Chứng minh rằng và $APB$ là hai tam giác vuông đồng dạng.

b) Chứng minh rằng

c) Tính tỉ số khi $AM$ = $\frac{R}{2}$

d) Tính thể tích của hình do nửa hình tròn quay quanh $AB$ sinh ra.

Bài làm:

a) - Ta có , $ON$ lần lượt là tia phân giác của $\widehat{AOP}$ và $\widehat{BOP}$ (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)

Mà kề bù $\widehat{BOP}$ nên suy ra $OM$ vuông góc với $ON$. (tính chất 2 tiếp tuyến của hai góc kề bù thì vuông góc với nhau)

Vậy vuông tại $O$ =>

- Ta có: Tứ giác nội tiếp một đường tròn vì có $\widehat{MAP}$ + $\widehat{MPO}$ = ${180}^0$ (2 góc vuông do Ax và MP là 2 tiếp tuyến của (O) tại A và P). => $\widehat{PMO}$ = $\widehat{PAO}$ (cùng chắn cung $OP$ trong đường tròn đường kính OM).

Xét hai tam giác và $APB$ có:

= $\widehat{PAO}$ (cmt)

=> (g.g)

b)Ta có: (1) (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)

Tam giác vuông có $OP$ là đường cao nên: $MP.PN=O{P}^2$ (Hệ thúc lượng trong tam giác vuông) (2)

Từ (1) và (2) suy ra

c) Ta có: (cmt)

=> (các cạnh tương ứng tỉ lệ) (3)

Ta có:

=>

Thay (3) vào ta có:

Khi = $\frac{R}{2}$ thì từ $AM.BN=R^2$ suy ra $BN=2R$

Do đó = $\frac{R}{2}$ + $2R$ = $\frac{5R}{2}$

Suy ra =

Vậy = $\frac{\frac{25R^2}{4}}{(2R{)}^2}=\frac{25}{16}$

d) Nửa hình tròn quay quanh đường kính $AB=2R$ sinh ra một hình cầu có bán kính $R$.

Vậy thể tích hình câu được sinh ra là: = $\frac{4}{3}$$\pi R^3$