Lời giải câu 27, 38, 49 đề thi thử THPT Quốc gia môn toán- Đề tham khảo số 2

1 Đánh giá

Bài làm:

Câu 27: Tính tích phân $I=\int_{0}^{2017 \pi}(\sin x+\cos x)e^{x}dx$ .

A. I=3.

B. I=1.

C. I=0.

D. I=2.

Giải: Đáp án C.

$\int_{0}^{2017 \pi} (\sin x+\cos x)e^{x}dx=\int_{0}^{2017 \pi} \sin x . e^{x}dx+\int_{0}^{2017 \pi}\cos x. e^{x}dx=A+B$

Tính $A=\int_{0}^{2017 \pi} \sin . e^{x}dx=\int_{0}^{2017 \pi}\sin xd(e^{x})=\left.\begin{matrix}(\sin x. e^{x})\end{matrix}\right|_{0}^{2017 \pi}-B=-B$ .

Vậy $I=B-B=0$ .

Câu 38: Cho khối chóp S. ABCD có thể tích V và đáy là hình bình hành. gọi M là trung điểm của cạnh SA, N là điểm nằm trên cạnh SB sao cho SN=2 NB, mặt phẳng $(\alpha)$ di động đi qua các điểm M, N và cắt các cạnh SC, CD lần lượt tại hai điểm phân biệt K, Q. Tính giá trị lớn nhất của thể tích khối chóp S.MNKQ.

A. $\frac{V}{2}$ .

B. $\frac{V}{3}$ .

C. $\frac{3V}{4}$ .

D. $\frac{2V}{3}$ .

Giải: Đáp án B.

Gọi $a=\frac{SK}{SC}, (0\leq a \leq 1)$

Vì mặt phẳng $(\alpha)$ di động đi qua các điểm M, N và cắt các cạnh SC, SD lần lượt tại hai điểm phân biệt K, Q nên ta có:

$\frac{SA}{SM}+\frac{SC}{SK}=\frac{SB}{SN}+\frac{SD}{SQ}\Leftrightarrow 2+\frac{1}{a}=\frac{3}{2}+\frac{SD}{SQ}$ $\Leftrightarrow \frac{SD}{SQ}=\frac{a+2}{2a}\Leftrightarrow \frac{SQ}{SD}=\frac{2a}{a+2}$.

$\frac{V_{S.MNKQ}}{S.ABCD}=\frac{1}{2}(\frac{SM}{SA}.\frac{SN}{SB}.\frac{SK}{SC}+\frac{SM}{SA}.\frac{SK}{SC}.\frac{SQ}{SC})=\frac{1}{2}[\frac{1}{3}a+\frac{1}{2}a.\frac{2a}{a+2}]=\frac{1}{2}(\frac{4a}{3}-\frac{2}{a+2})$ .

Xét hàm $f(x)=\frac{4x}{3}-\frac{2}{x+2}, (0 \leq x \leq 1)$ . Ta có

$f'(x)=\frac{4}{3}+\frac{2}{(x+2)^{2}}>0 \forall x \in [0,1]$

Suy ra giá trị lớn nhất của hàm f(x) là $f(1)=\frac{2}{3}.$

Vậy giá trị lớn nhất của thể tích khối chóp $S.MNKQ$ là $V_{SMNKQ}=\frac{1}{2}.\frac{2}{3} V_{SABCD}=\frac{1}{3}V$.

Câu 49: Cho ba điểm A, B, C lần lượt nằm trên ba trục tọa độ Ox, Oy, Oz ( các điểm này không trùng với gốc tọa độ) thỏa mãn $AB^{2}+BC^{2}+CA^{2}=8$ . Gọi I là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện OABC. Biết rằng khi A, B, C di chuyển thì điểm I nằm trên một mặt cầu cố định. Tính bán kính R của mặt cầu đó?