Đáp án câu 4 đề 1 kiểm tra học kì 2 Toán 9

Câu 4 (3,5 điểm): Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB và điểm M bất kì trên nửa đường tròn (M khác A và B). Trên nửa mặt phẳng bờ AB chứa nửa đường tròn kẻ tiếp tuyến Ax. Tia BM cắt Ax tại I; tia phân giác của góc IAM cắt nửa đường tròn tại E; cắt tia BM tại F; tia BE cắt Ax tại H, cắt AM tại K.

1. Chứng minh rằng: AEMB là tứ giác nội tiếp và = IM.MB

2. Chứng minh BAF là tam giác cân.

3. Chứng minh rằng tứ giác AKFH là hình thoi.

Bài làm:

a, Có AB là đường kính của nửa đường tròn (O), M, E là 2 điểm trên nửa đường tròn

Do đó tứ giác AEMB nội tiếp.

Ax là tiếp tuyến tại A của đường tròn (O) hay $\Rightarrow AI\perp AB$ ($I\in Ax$) $\Rightarrow \mathrm{\Delta }AIB$ vuông tại A

nên $AM\perp MB$ hay $AM\perp IB$ ( do I, M, B thẳng hàng)

Xét tam giác AIB vuông tại A có (đpcm)

b, Ta có: và $\widehat{EBM}$ là hai góc nội tiếp chắn cung EM.

(1)

AF là phân giác của góc (2)

là góc tạo bởi tia tiếp tuyến Ax và dây cung AE, $\widehat{ABE}$ là góc nội tiếp chắn cung AE $\Rightarrow \widehat{IAF}=\widehat{ABE}$ (3)

Từ (1), (2) và (3) . Mà tia BE nằm trong $\widehat{BFA}$

BE là tia phân giác của $\widehat{ABF}$

Vậy BE là đường phân giác của

Mà nên $\mathrm{\Delta }BAF$ là tam giác cân tại B (vì BE vừa là đường cao vừa là đường phân giác của $\mathrm{\Delta }BAF$).

c, là tam giác cân tại B có BE là đường cao nên BE là đường trung trực của AF. Hay HK là đường trung trực của AF.

FK = AK và HA = HF (*)

Xét có AE là phân giác của $\widehat{HAK}$ và $AE\perp HK$ nên AE là đường trung trực của HK hay AF là đường trung trực của HK

HA = AK và HF = FK (**)

Từ (*) và (**) ta được HA = AK = KF = FH

Do đó tứ giác AKHF là hình thoi (đpcm).