Đáp án câu 5 đề 1 kiểm tra học kì 2 Toán 9

Câu 5 (1 điểm): Cho a, b là hai số dương thỏa mãn $a + b \geq 1$ .

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P = $(a^{3} + b^{3})^{2} + (a^{2} + b^{2}) + \frac{3}{2}ab$

Bài làm:

Với a, b là 2 số dương ta có:

$a^{3} + b^{3} \geq ab(a + b)$

$\Leftrightarrow (a + b)(a^{2} - ab + b^{2} - ab) \geq 0$

$\Leftrightarrow (a + b)(a - b)^{2} \geq 0$ (luôn đúng với mọi a, b dương)

Do đó $a^{3} + b^{3} \geq ab(a + b)$ với mọi a, b dương, dấu "=" xảy ra khi a = b.

Với mọi a, b dương và $a + b \geq 1$ , ta có:

$(a + b)^{2} \geq 1$

$\Leftrightarrow a^{2} + b^{2} \geq 1 - 2ab$ . Dấu "=" xảy ra khi a + b = 1

Ta có:

P = $(a^{3} + b^{3})^{2} + (a^{2} + b^{2}) + \frac{3}{2}ab$

$\geq [ab(a + b)]^{2} + 1 - 2ab + \frac{3}{2}ab$

$\geq (ab)^{2} - \frac{ab}{2} + 1$ (do $a+b \geq 1)$

$= \left ( ab - \frac{1}{4} \right )^{2} + \frac{15}{16}$

$\geq \frac{15}{16}$

Dấu "=" xảy ra khi $\left\{\begin{matrix}a = b\\ a = b = 1\\ ab = \frac{1}{4}\end{matrix}\right. \Leftrightarrow a = b = \frac{1}{2}$

Vậy giá trị nhỏ nhất của P là $\frac{15}{16}$ khi $a = b = \frac{1}{2}$

Cập nhật: 08/09/2021

Xem thêm bài viết khác