Giải câu 1 trang 86 toán VNEN 9 tập 1

D.E. HOẠT ĐỘNG VẬN DỤNG và TÌM TÒI, MỞ RỘNG

Câu 1: Trang 86 sách VNEN 9 tập 1

Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Gọi D và E lần lượt là hình chiếu của H trên AB, AC.

a) Cho BH = 4cm, CH = 9cm.

i) Tính độ dài đoạn thẳng DE và số đo góc HAC (làm tròn đến độ)

ii) Tính giá trị của biểu thức P =

iii) Các đường thẳng vuông góc với DE tại D và tại E lần lượt cắt BC tại M và N. Chứng minh M là trung điểm của BH và N là trung điểm của CH. Tính diện tích tứ giác DENM

b) Chứng minh AD.AB = AE.AC.

c) Qua A kẻ đường thẳng vuông góc với DE cắt BC tại I. Chứng minh I là trung điểm của BC.

d) Tam giác ABC có thêm điều kiện gì để diện tích tam giác ABC gấp đôi diện tích tứ giác ADHE.

Bài làm:

a)

i) Ta có tứ giác ADHE là hình vuông nên DE = AH

Xét tam giác vuông ABC, ta có: = BH.CH = 4.9 = 36 $\Rightarrow $ AH = 6cm $\Rightarrow $ DE = 6cm

tanHAC = = $\frac{9}{6}$ = $\frac{3}{2}$ $\Rightarrow $ $\widehat{HAC}$ = $56^{\circ}$

ii) Ta có: AB = = $\sqrt{6^{2} + 4^{2}}$ = 2$\sqrt{13}$ cm

AC = = $\sqrt{6^{2} + 9^{2}}$ = 3$\sqrt{13}$ cm

P = = P = $\frac{2\frac{AH}{AB} + 3\frac{CH}{AC}}{\frac{AH}{BH} - 3\frac{CH}{AH}}$ = - $\frac{5\sqrt{13}}{13}$.

iii) Ta có: + $\widehat{HDE}$ = $90^{\circ}$ (do DM $\perp $ DE)

+ $\widehat{DHA}$ = $90^{\circ}$ (do AH $\perp $ BC)

Mặt khác tứ giác ADHE là hình chữ nhật nên = $\widehat{DHA}$ $\Rightarrow $ $\widehat{MDH}$ = $\widehat{MHD}$ $\Rightarrow $ tam giác MDH cân tại M suy ra DM = MH

Tương tự ta được BM = DM

Suy ra DM = MH = BM hay M là trung điểm của BH

Tương tự ta chứng minh được N là trung điểm của CH.

SDENM = .DE = $\frac{2 + 4,5}{2}$.6 = 19,5 $cm^{2}$.

b) Ta có: = $\widehat{AHE}$ = $\widehat{BHD}$ (cùng phụ với góc $\widehat{DHA}$ = $\widehat{BCA}$ (đồng vị)

Xét tam giác ADE và tam giác ACB có:

Góc A chung, = $\widehat{BCA}$

Suy ta tam giác ADE đồng dạng với tam giác ACB

$\frac{AD}{AC}$ = $\frac{AE}{AB}$ suy ra AD.AB = AC.AE (đpcm).

c) Ta có: + $\widehat{DAI}$ = $90^{\circ}$

+ $\widehat{IAE}$ = $90^{\circ}$

$\widehat{IAE}$ = $\widehat{ADE}$ = $\widehat{ACB}$

$\Delta $IAC cân tại I IA = IC

Tương tự ta được IA = IB

IA = IB = IC hay I là trung điểm của BC.

d) SADHE = AD.AE

SABC = $\frac{1}{2}$.AB.AC

Để SABC = 2SADHE thì $\frac{1}{2}$.AB.AC = 2.AD.AE $\Leftrightarrow $ AB.AC = 4AD.AE

Theo câu b AD.AB = AC.AE AB = $\frac{AC.AE}{AD}$

$\frac{AC.AE}{AD}$.AC = 4AD.AE $AC^{2}$ = 4$AD^{2}$ $\Leftrightarrow $ AC = 2AD

Vậy AC = 2AD thì diện tích tam giác ABC gấp đôi diện tích tứ giác ADHE..