Giải câu 1 trang 86 toán VNEN 9 tập 1

D.E. HOẠT ĐỘNG VẬN DỤNG và TÌM TÒI, MỞ RỘNG

Câu 1: Trang 86 sách VNEN 9 tập 1

Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Gọi D và E lần lượt là hình chiếu của H trên AB, AC.

a) Cho BH = 4cm, CH = 9cm.

i) Tính độ dài đoạn thẳng DE và số đo góc HAC (làm tròn đến độ)

ii) Tính giá trị của biểu thức P =

iii) Các đường thẳng vuông góc với DE tại D và tại E lần lượt cắt BC tại M và N. Chứng minh M là trung điểm của BH và N là trung điểm của CH. Tính diện tích tứ giác DENM

b) Chứng minh AD.AB = AE.AC.

c) Qua A kẻ đường thẳng vuông góc với DE cắt BC tại I. Chứng minh I là trung điểm của BC.

d) Tam giác ABC có thêm điều kiện gì để diện tích tam giác ABC gấp đôi diện tích tứ giác ADHE.

Bài làm:

a)

i) Ta có tứ giác ADHE là hình vuông nên DE = AH

Xét tam giác vuông ABC, ta có: = BH.CH = 4.9 = 36 $\Rightarrow$ AH = 6cm $\Rightarrow$ DE = 6cm

tanHAC = = $\frac{9}{6}$ = $\frac{3}{2}$ $\Rightarrow$ $\widehat{HAC}$ = ${56}^{\circ }$

ii) Ta có: AB = = $\sqrt{6^2+4^2}$ = 2$\sqrt{13}$ cm

AC = = $\sqrt{6^2+9^2}$ = 3$\sqrt{13}$ cm

P = = P = $\frac{2\frac{AH}{AB}+3\frac{CH}{AC}}{\frac{AH}{BH}-3\frac{CH}{AH}}$ = - $\frac{5\sqrt{13}}{13}$.

iii) Ta có: + $\widehat{HDE}$ = ${90}^{\circ }$ (do DM $\perp$ DE)

+ $\widehat{DHA}$ = ${90}^{\circ }$ (do AH $\perp$ BC)

Mặt khác tứ giác ADHE là hình chữ nhật nên = $\widehat{DHA}$ $\Rightarrow$ $\widehat{MDH}$ = $\widehat{MHD}$ $\Rightarrow$ tam giác MDH cân tại M suy ra DM = MH

Tương tự ta được BM = DM

Suy ra DM = MH = BM hay M là trung điểm của BH

Tương tự ta chứng minh được N là trung điểm của CH.

SDENM = .DE = $\frac{2+4,5}{2}$.6 = 19,5 $c{m}^2$.

b) Ta có: = $\widehat{AHE}$ = $\widehat{BHD}$ (cùng phụ với góc $\widehat{DHA}$ = $\widehat{BCA}$ (đồng vị)

Xét tam giác ADE và tam giác ACB có:

Góc A chung, = $\widehat{BCA}$

Suy ta tam giác ADE đồng dạng với tam giác ACB

$\frac{AD}{AC}$ = $\frac{AE}{AB}$ suy ra AD.AB = AC.AE (đpcm).

c) Ta có: + $\widehat{DAI}$ = ${90}^{\circ }$

+ $\widehat{IAE}$ = ${90}^{\circ }$

$\widehat{IAE}$ = $\widehat{ADE}$ = $\widehat{ACB}$

$\mathrm{\Delta }$IAC cân tại I IA = IC

Tương tự ta được IA = IB

IA = IB = IC hay I là trung điểm của BC.

d) SADHE = AD.AE

SABC = $\frac{1}{2}$.AB.AC

Để SABC = 2SADHE thì $\frac{1}{2}$.AB.AC = 2.AD.AE $\iff$ AB.AC = 4AD.AE

Theo câu b AD.AB = AC.AE AB = $\frac{AC.AE}{AD}$

$\frac{AC.AE}{AD}$.AC = 4AD.AE $A{C}^2$ = 4$A{D}^2$ $\iff$ AC = 2AD

Vậy AC = 2AD thì diện tích tam giác ABC gấp đôi diện tích tứ giác ADHE..