Giải Câu 4 Bài: Bài tập ôn tập chương 3

Câu 4: Trang 121 - SGK Hình học 11

Hình chóp có đáy $ABCD$ là hình thoi cạnh $a$ và có góc $\widehat{BAD}={60}^0$. Gọi $O$ là giao điểm của $AC$ và $BD$. Đường thẳng SO vuông góc với mặt phẳng (ABCD) và $SO=\frac{3a}{4}$ . Gọi $E$ là trung điểm của đoạn $BC$ và $F$ là trung điểm của đoạn $BE$.

a) Chứng minh mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng $(SBC)$

b) Tính các khoảng cách từ và $A$ đến mặt phẳng $(SBC)$

Bài làm:

a) Theo giả thiết hình thoi có: => $\widehat{BCD}={60}^0$

suy ra tam giác đều => hay $\widehat{OBC}={60}^0$

là hình thoi => $AC\perp BD\equiv O$ => $\mathrm{\Delta }BOC$ vuông tại O có $E$ là trung điểm $BC$

=> (tính chất đường trung tuyến ứng với cạnh huyền)

Xét tam giác có $BO=BE-cmt$ và $\widehat{OBE}={60}^0$ nên tam giác đều

Có là trung điểm $BD$ => đồng thời là đường cao => $OF\perp BC$.

$\begin{array}{c}SO\mathrm{\perp }(ABCD)\hfill \\ \mathrm{O}\mathrm{F}\mathrm{\perp }\mathrm{B}\mathrm{C}\hfill \end{array}\}\Rightarrow SF\mathrm{\perp }BC$

(Định lí 3 đường vuông góc)

$\begin{array}{c}SF\mathrm{\perp }BC\hfill \\ \mathrm{O}\mathrm{F}\mathrm{\perp }\mathrm{B}\mathrm{C}\hfill \end{array}\}\Rightarrow BC\mathrm{\perp }(SOF)$

Mà

Suy ra

b) Vì và hai mặt phẳng này giao nhau theo giao tuyến $SF$

nên từ ta kẻ $OH\perp SF$ => $OH\perp (SBC)$ =>

Ta có:

$\begin{array}{rl}& SO=\frac{3a}{4};\mathrm{O}\mathrm{F}=\frac{a\sqrt{3}}{4}\Rightarrow SF=\frac{a\sqrt{3}}{2}\\ & OH.SF=SO.\mathrm{O}\mathrm{F}\Rightarrow \mathrm{O}\mathrm{H}=\frac{3a}{8}\end{array}$

Gọi là hình chiếu vuông góc của $A$ trên $(SBC)$, ta có $AK//OH$

Trong thì $OH$ là đường trung bình, do đó: