Giải câu 5 trang 114 toán VNEN 9 tập 1

Câu 5: Trang 114 sách VNEN 9 tập 1

Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB, trên nửa mặt phẳng bờ AB chứa nửa đường tròn kẻ hai tiếp tuyến Ax, By với đường tròn (O). Lấy M trên nửa đường tròn. Qua M kẻ tiếp tuyến thứ ba với nửa đường tròn, tiếp tuyến này cắt Ax, By theo thứ tự tại C và D.

a) Chứng minh điểm O nằm trên đường tròn (O') đường kính CD.

b) Gọi giao điểm của CO và AM là I, giao điểm của MB và OD là K. Chứng minh MO = IK.

c) Chứng minh AB là tiếp tuyến của đường tròn (O') đường kính CD.

d) Chứng minh rằng khi M chạy trên nửa đường tròn (O) thì trung điểm của MI chạy trên đường cố định.

e) Tìm vị trí của điểm M để hình thang ABCD có chu vi nhỏ nhất.

Bài làm:

a) Gọi O' là trung điểm của CD

Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau ta có:

CO là phân giác của , DO là phân giác của $\widehat{MDB}$

Vì Ax // By nên + $\widehat{MDB}$ = ${180}^{\circ }$

$\widehat{MCO}$ + $\widehat{MDO}$ = ${90}^{\circ }$ $\widehat{COD}$ = ${90}^{\circ }$

Hay O nằm trên đường tròn (O') đường kính CD (đpcm).

b) Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau ta có CO là phân giác của và CM = CA

AM $\perp$ CO $\widehat{MIO}$ = ${90}^{\circ }$

Tương tự ta có BM DO $\Rightarrow$ $\widehat{MKO}$ = ${90}^{\circ }$

Tứ giác MIOK có = $\widehat{MKO}$ = $\widehat{IMK}$ = ${90}^{\circ }$

tứ giác MIOK là hình chữ nhật MO = IK (hai đường chéo).

c) Hình thang ACDB có O', O lần lượt là trung điểm của CD và AB

O'O // Ax // By hay O'O $\perp$ AB

Vậy AB là tiếp tuyến của đường tròn (O') đường kính CD (đpcm).