Lời giải Bài 4 Đề thi thử lên lớp 10 môn toán lần 1 năm 2017 của Trường THPT chuyên Vinh

Bài làm:

Lời giải bài 4 :

Đề bài :

Cho đường tròn (O) và dây BC cố định không qua tâm, điểm A chuyển động trên cung lớn BC sao cho tam giác ABC nhọn. Đường cao BE và CF của tam giác ABC cắt nhau tại H và cắt (O) lần lượt tại M và N.

a) Chứng minh tứ giác BCEF nội tiếp và MN // FE.

b) Vẽ đường cao AD của tam giác ABC. Chứng minh H là tâm đường tròn nội tếp tam giác DEF.

c) Đường thẳng qua A và vuông góc với EF luôn đi qua một điểm cố định.

Hướng dẫn giải chi tiết :

a. Ta có : ( do 2 góc nội tiếp cùng chắn cung EC )

Xét đường tròn (O) có : (2 góc nội tiếp cùng chắn cung MC)

=> mà hai góc này ở vị trí đồng vị nên MN // EF (đpcm) .

Vậy tứ giác BCEF nội tiếp và MN // EF .

b. Vì tứ giác BCEF nội tiếp => (2 góc nội tiếp cùng chắn cung EF) (1)

Xét tứ giác BDHF có :

=> Tứ giác BDHF nội tiếp ( tứ giác có tổng hai góc đối bằng ^{\circ} ) .

=> ( 2 góc nội tiếp cùng chắn cung FH ) (2)

Chứng minh tương tự : tứ giác DCEH nội tiếp .

=> ( 2 góc nội tiếp cùng chắn cung EH ) (3)

Từ (1) , (2) và (3) => => DH là phân giác của $\widehat{FDE}$ (*)

Tương tự : EH là phân giác của .

FH là phân giác của . (**)

Từ (*) và (**) => H là tâm đường tròn nội tiếp (đpcm) .

c. Qua A kẻ đường kính AK , kẻ tiếp tuyến Ax với đường tròn (O) .

=> .

Ta có : ( góc nội tiếp và góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung cùng chắn cung AB ) (4)

Vì tứ giác BCEF nội tiếp => ( cùng bù $\widehat{BFE}$ ) (5)

Từ (4) và (5) => .

Mà hai góc này ở vị trí so le trong của hai đường thẳng Ax và EF cắt AB => Ax //EF .

Mặt khác , ta có : , và ( O ) cố định ( theo gt ) .

Vậy đường thẳng qua A và vuông góc với EF luôn đi qua một điểm cố định là điểm O (đpcm) .