Lời giải Bài 5 Đề thi thử lên lớp 10 môn toán lần 3 năm 2017 của trường THPT chuyên TP HCM

Bài làm:

Lời giải bài 5 :

Đề bài :

Cho tam giác ABC không có góc tù ( AB < AC ) nội tiếp đường tròn (O; R). (B, C cố định, A di động trên cung lớn BC). Các tiếp tuyến tại B và C cắt nhau tại M. Từ M kẻ đường thẳng song song với AB, đường thẳng này cắt (O) tại D và E (D thuộc cung nhỏ BC), cắt BC tại F, cắt AC tại I.

a. Chứng minh rằng : . Từ đó suy ra MBIC là tứ giác nội tiếp.

b. Chứng minh rằng: FI.FM = FD.FE.

c. Đường thẳng OI cắt (O) tại P và Q (P thuộc cung nhỏ AB). Đường thẳng QF cắt (O) tại T (T khác Q). Chứng minh ba điểm P, T, M thẳng hàng.

d. Tìm vị trí điểm A trên cung lớn BC sao cho tam giác IBC có diện tích lớn nhất.

Hướng dẫn giải chi tiết :

a. Ta có : ( do cùng chắn cung BC )

Và ( do AB // MI )

=> Bốn điểm I ,C, M ,B cùng nằm trên đường tròn đường kính OM (vì 2 điểm B, C cùng nhìn OM dưới 1 góc vuông) .

b. Do => FB. FC = FE. FD. (1)

Và => FB. FC = FI. FM. (2)

Từ (1) , (2) => FI.FM =FD.FE .

c. Ta có : ( do POIQ là đường kính ).

Và => có 2 góc đối đỉnh F bằng nhau và $\frac{FI}{FQ}=\frac{FT}{FM}$ ( vì FI.FM = FD.FE = FT.FQ ) .

=>

Mặt khác , ta có : ( do (I nhìn OM dưới góc $90^{\circ}$ ) .

=> P, T, M thẳng hàng ( vì ) .

d. Ta có BC không đổi => lớn nhất khi và chỉ khi khoảng cách từ I đến BC lớn nhất.

Vậy I trùng với O là yêu cầu của bài toán vì I nằm trên cung BC của đường tròn đường kính OM. Khi I trùng O thì vuông tại B.

Vậy lớn nhất khi và chỉ khi AC là đường kính của đường tròn (O;R).