Tính giá trị biểu thức số phức

1 Đánh giá

Dạng 2: Tính giá trị biểu thức số phức

Bài làm:

Bài tập 1: Cho hai số phức $z_1, z_2$ thoả mãn $z_{1}; z_{2} \neq 0$ và $\frac{1}{z_{1} + z_{2}} = \frac{1}{z_{1}} + \frac{2}{z_{2}}$ .

Tính giá trị biểu thức $|\frac{z_1}{z_2}|$ .

Bài giải:

Từ giả thiết, ta có $frac{1}{z_1+z_2}=\frac{1}{z_1}+\frac{2}{z_2}$ \frac{1}{z_1+z_2}=\frac{1}{z_1}+\frac{2}{z_2}$

$\Leftrightarrow \frac{1}{z_1+z_2}=\frac{2z_1+z_2}{z_1.z_2}$

$\Leftrightarrow z_1.z_2=(2z_1+z_2)(z_1+z_2)$

$\Leftrightarrow z_1.z_2=2z_1^2+3z_1z_2+z_2^2$

$\Leftrightarrow 2z_1^2+2z_1z_2+z_2^2=0$

$\Leftrightarrow 2.(\frac{z_1}{z_2})^2+2(\frac{z_1}{z_2})+1=0$

$\Leftrightarrow \frac{z_1}{z_2}=\frac{-1}{2}+\frac{i}{2}$

Vậy $|\frac{z_1}{z_2}|=\frac{\sqrt{2}}{2}$

Bài tập 2: Cho hai số phức $z_1; z_2$ thoả mãn điều kiện $| z_{1} | = | z_{2} | = | z_{1} - z_{2} | = 1.$

Tính giá trị biểu thức $P=(\frac{z_1}{z_2})^2+(\frac{z_2}{z_1})^2$ .

Bài giải:

Từ giả thiết ta có $|z_1|=|z_2|=|z_1-z_2|=1 \Leftrightarrow |\frac{z_1}{z_2}|=|\frac{z_1}{z_2}-1|=1.$

Đặt $w=\frac{z_1}{z_2}=x+yi$ . Khi đó,

$\left\{\begin{matrix}\sqrt{x^2+y^2}=1\\\sqrt{(x-1)^2+y^2}=1 \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}x^2+y^2=1\\x^2+y^2=2x \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}x=\frac{1}{2}\\y=\pm \frac{\sqrt{3}}{2} \end{matrix}\right.$

Vậy $P=w^2+\frac{1}{w^2}=-1.$

Bài tập 3: Kí hiệu $z_1; z_2;z_3; z_4$ là bốn nghiệm của phương trình $z^{4} - z^{2} - 12 = 0$ . Tính tổng $T = | z_{1} | + | z_{2} | + | z_{3} | + | z_{4} |$ .

Bài giải:

Đặt $z^2=t$ , phương trình trở thành $t^{2} - t - 12 = 0. \Leftrightarrow t = 4$ hoặc $t = - 3$ .

t=4 thì $z_1=2; z_2=-2.$
t=-3 thì $z_3=i\sqrt{3}; z_4=-i\sqrt{3}$

Vậy $P=4+2\sqrt{3}.$

8 lượt xem

Cập nhật: 07/09/2021

Xem thêm bài viết khác

Xem thêm Giải tích lớp 12