Giải bài 3: Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số

  • 1 Đánh giá

Ở các lớp dưới, chúng ta đã biết được cách tìm GTLN và GTNN của hàm số thông qua một số bất đẳng thức quen thuộc như Bunhiacopski, Cauchy... Bài hôm nay, chúng ta được học thêm một phương pháp nữa để tìm GTLN và GTNN của hàm số đó là nhờ vào một ứng dụng quan trọng của đạo hàm hàm số.

A. Lí thuyết

1. Định nghĩa

Cho hàm số xác định trên tập D.

  • Số M được gọi là giá trị lớn nhất của hàm số trên tập D nếu $f(x) \leq M$ với mọi x thuộc D và tồn tại $x_{0} \in D$ sao cho $f(x_{0}=M$. Kí hiệu $M=\max_{D} f(x)$.
  • Số m được gọi là giá trị nhỏ nhất của hàm số trên tập D nếu $f(x) \geq m$ với mọi x thuộc D và tồn tại $x_{0} \in D$ sao cho $f(x_{0}=m$. Kí hiệu $m=\min_{D} f(x)$.

2. Cách tính GTLN và GTNN của hàm số trên một đoạn

Định lí: Mọi hàm số liên tục trên một đoạn đều có giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trên đoạn đó.

Quy tắc tìm GTLN và GTNN của hàm số liên tục trên một đoạn

  1. Tìm các điểm trên khoảng (a,b) tại đó $f'(x)=0$ hoặc $f'(x)$ không xác định.
  2. Tính .
  3. Tìm số lớn nhất M và số nhỏ nhất m trong các số trên. Ta có .

Tổng quát: Muốn tìm GTLN và GTNN của một hàm số trên TXĐ.

  • Bước 1: Tìm TXĐ
  • Bước 2: Giải phương trình
  • Bước 3: Lập bảng biến thiên
  • Bước 4: Dựa vào bảng biến thiên đưa ra kết luận.

Ví dụ: Tìm GTLN và GTNN của hàm số trên khoảng $(0,+\infty)$.

Giải: TXĐ .

Ta có .

Bảng biến thiên

Từ bảng biến thiên ta thấy trên khoảng , hàm số đạt GTNN là -3 khi x=1 và không tồn tại giá trị lớn nhất của f(x) trên khoảng .

B. BÀI TẬP VÀ HƯỚNG DẪN GIẢI

Bài 1: Trang 23, 24 - sgk giải tích 12

Tính giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số

a) trên các đoạn $[-4;4]$ và $[0;5]$;

b) trên các đoạn $[0;3]$ và $[2;5]$;

c) trên các đoạn $[2;4]$ và $[-3;-2]$;

d) trên đoạn $[-1;1]$.

=> Xem hướng dẫn giải

Bài 2: Trang 24 - sgk giải tích 12

Trong các hình chữ nhật có cùng chu vi 16 cm, hãy tìm hình chữ nhật có diện tích lớn nhất.

=> Xem hướng dẫn giải

Bài 3: Trang 24 - sgk giải tích 12

Trong tất cả các hình chữ nhật cùng có diện tích , hãy xác định hình chữ nhật có chu vi nhỏ nhất.

=> Xem hướng dẫn giải

Bài 4: Trang 24 - sgk giải tích 12

Tính giá trị lớn nhất của các hàm số sau:

a) ;

b) .

=> Xem hướng dẫn giải

Bài 5: Trang 24 - sgk giải tích 12

Tính giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau:

a) ;

b) . (x>0)

=> Xem hướng dẫn giải

Phần tham khảo mở rộng

Dạng 1: Tìm giá trị của tham số sao cho hàm số thoả mãn một giá trị nào đó liên quan đến GTLN và GTNN trên đoạn [a; b].

=> Xem hướng dẫn giải

Dạng 2: Tìm GTLN, GTNN của hàm số bằng cách đặt ẩn phụ

=> Xem hướng dẫn giải

=> Câu hỏi và bài tập trắc nghiệm toán 12 bài 3: Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số


  • 17 lượt xem