Phát triển từ đề thi minh họa THPT Quốc gia lần 3 môn Toán

1 Đánh giá

Đây là một số bài tập phát triển từ đề minh họa THPT lần 3 của Bộ giáo dục- đề thi được đánh giá là sát với đề thi thật nhất.

Ví dụ 1: Cho số phức z thỏa mãn điều kiện $|z-1-i|+|z-3-2i|=\sqrt{5}$ . Gọi M, m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của mô đun của z. Tính M+m.

A. $\frac{\sqrt{5}+5 \sqrt{13}}{5}$ .

B. $\sqrt{5}+5 \sqrt{13}$ .

C. $\sqrt{2}+\sqrt{13}$ .

D. $\sqrt{2}+2 \sqrt{13}$ .

Giải: Đáp án C

Gọi $z=x+yi, (x, y \in \mathbb{R})$ có điểm M (x,y) biểu diễn số phức z trên mặt phẳng tọa độ.

Ta có $|z-1-i|+|z-3-2i|=\sqrt{5}$ .

$\Leftrightarrow \sqrt{(x-1)^{2}+(y-1)^{2}}+\sqrt{(x-3)^{2}+(y-2)^{2}}=\sqrt{5}(1)$ .

Đặt A(1,1), B(3,2) thì từ (1) ta có: $AM+BM=\sqrt{5} (2)$ .

Mặt khác $\overrightarrow{AB}=(2,1) \Rightarrow AB = \sqrt{5}$ nên M thuộc AB.

Cách 1: Sử dụng hình vẽ

Nhận xét rằng $\widehat{OAB}$ là góc tù ta có $M=|z_{\max}|=OB=\sqrt{13}$ và $m=|z|_{\min}=OA=\sqrt{2}$.

Vậy $M+m=\sqrt{2}+\sqrt{13}$ .

Nhận xét: Một sai lầm thường gặp là đánh giá $|z|_{min}=d(O,AB)=\frac{\sqrt{5}}{5}$ nhưng do góc $\widehat{OAB}$ là góc tù nên không tồn tại điểm M trên đoạn AB sao cho $ OM \perp AB$.

Cách 2: Sử dụng hàm số

Ta có phương trình đoạn thẳng AB: x-2y+1=0 với $x \in [1,3], y \in [1,2]$ .

$|z|=\sqrt{x^{2}+y^{2}}=\sqrt{(2y-1)^{2}+y^{2}}=\sqrt{5y^{2}-4y+1}$ .

Xét hàm số $f(y)=5y^{2}-4y+1$ với $y\in [1,2].$

$f_{\max}=13, f_{\min}=2$ . Suy ra $m=\sqrt{2}, M=\sqrt{13}$.

B. BÀI TẬP VÀ HƯỚNG DẪN GIẢI

Câu 1: (Đề minh họa số 3) Xét số phức z thỏa mãn $|z+2-i|+|z-4-7i|=6 \sqrt{2}$ . Gọi m, M lần lượt là giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của $|z+1-i|$. Tính $P=m+M$.

A. $P=\sqrt{13}+\sqrt{73}$ .

B. $P=\frac{5 \sqrt{2}+2 \sqrt{73}}{2}$ .

C. $P=5 \sqrt{2}+\sqrt{73}$ .

D. $P=\frac{5 \sqrt{2}+\sqrt{73}}{2}$ .

=> Xem hướng dẫn giải

Câu 2: Cho số phức z thỏa mãn điều kiện $|z-1-i|+|z-3-2i|=\sqrt{5}$ . Gọi M, m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của mô đun số phức z+2i. Tính M+m.

A. $\frac{ \sqrt{5}+5 \sqrt{10}}{5}$ .

B. $\sqrt{10}+5$ .

C. $\sqrt{2}+\sqrt{13}$ .

D. $2 \sqrt{10}+5$ .

=> Xem hướng dẫn giải

Câu 3: Cho hình chóp SABCD có đáy là hình vuông cạnh a, hai mặt phẳng (SAB) và (SAD) cùng vuông góc với đáy, SC tạo với mặt phẳng (SAB) một góc bằng $30^{0}$ . Tính thể tích V của khối chóp SABCD.

A. $V=\frac{\sqrt{6}a^{3}}{3}$ .

B. $V=\frac{\sqrt{2}a^{3}}{3}$ .

C. $V=\frac{\sqrt{6}a^{3}}{6}$ .

D. $V=\sqrt{2} a^{3}$ .

=> Xem hướng dẫn giải

Câu 4: Cho hình chóp SABCD có đáy là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với đáy, SD tạo với (SAC) một góc bằng $30^{0}$ . Tính thể tích V của khối chóp SABCD.

A. $V=\frac{a^{3}}{3}$ .

B. $V=\sqrt{3}a^{3}$ .

C. $V=\frac{\sqrt{3}a^{3}}{3}$ .

D. $V=\frac{2\sqrt{3}a^{3}}{3}$ .

=> Xem hướng dẫn giải

Câu 5: Cho hình chóp SABCD có đáy là hình chữ nhật ABCD có $CD=2 BC=2a$ , SA vuông góc với đáy, SD tạo với mặt phẳng (SAC) một góc bằng $45^{0}$. Tính thể tích V của khối chóp SABCD.

A. $V=\frac{\sqrt{15}a^{3}}{15}$ .

B. $V=\frac{2\sqrt{15}a^{3}}{15}$ .

C. $V=\frac{2\sqrt{15}a^{3}}{5}$ .

D. $V=\frac{\sqrt{15}a^{3}}{3}$ .

=> Xem hướng dẫn giải

Câu 6: Cho tứ diện ABCD có ABC là tam giác đều cạnh a, tam giác BCD cân tại D và nằm trong mặt phẳng vuông góc với (ABC). Biết AD hợp với mặt phẳng (ABC) một góc bằng $60^{0}$ . Tính thể tích V của khối tứ diện ABCD.