Giải bài 2: Tích phân

1 Đánh giá

Bài học với nội dung kiến thức về Nguyên hàm. Một kiến thức mới đòi hỏi các bạn học sinh cần nắm được lý thuyết để vận dụng giải quyết các bài toán. Dựa vào cấu trúc SGK toán lớp 12, KhoaHoc sẽ tóm tắt lại hệ thống lý thuyết và hướng dẫn giải các bài tập 1 cách chi tiết, dễ hiểu. Hi vọng rằng, đây sẽ là tài liệu hữu ích giúp các em học tập tốt hơn

A. Tổng hợp kiến thức

I. Khái niệm

Cho f(x) là hàm số liên tục trên đoạn [a;b].
F(x) là một nguyên hàm của f(x) trên đoạn [a;b].

=> Hiệu số F(b) - F(a) gọi là tích phân từ a -> b .
Ký hiệu: $\int_{a}^{b}f(x)dx$ với a là cận dưới, b là cận trên, f(x)dx là biểu thức dưới dấu tích phân, f(x) là hàm số dưới dấu tích phân.

Công thức tổng quát

$\int_{a}^{b}f(x)dx=F(b)-F(a)$

Chú ý:

Với $a=b$ hoặc $a>b$, ta quy ước:

$\int_{a}^{b}f(x)dx=0$
$\int_{a}^{b}f(x)dx=-\int_{b}^{a}f(x)dx$

==> Ý nghĩa hình học của tích phân

Ta nói $\int_{a}^{b}f(x)dx$ là diện tích hình thang cong giới hạn bởi đồ thị của f(x), trục Ox và hai đường thẳng $x=a$ và $x=b$.

$S=\int_{a}^{b}f(x)dx$

II. Tính chất của tích phân

Tính chất 1

$\int_{a}^{b}kf(x)dx=k\int_{a}^{b}f(x)dx$

Tính chất 2

$\int_{a}^{b}(f(x)\pm g(x))dx=\int_{a}^{b}f(x)dx\pm \int_{a}^{b}g(x)dx$

Tính chất 3

$\int_{a}^{b}f(x)dx=\int_{a}^{c}f(x)dx+\int_{c}^{b}f(x)dx$

III. Phương pháp tính tích phân

Phương pháp đổi biến số
Phương pháp tính tích phân từng phần

B. BÀI TẬP VÀ HƯỚNG DẪN GIẢI

Câu 1:Trang 112 - sgk giải tích 12

Tính các tích phân sau:

a) $\int_{-\frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}}\sqrt[3]{(1-x)^{2}}dx$

b) $\int_{0}^{\frac{\prod}{2}}\sin (\frac{\prod }{4}-x) dx$

c) $\int_{\frac{1}{2}}^{2}\frac{1}{x(x+1)} dx$

d) $\int_{0}^{2}x(x+1) ^{2}dx$

e) $\int_{\frac{1}{2}}^{2}\frac{1-3x}{(x+1)^{2}}dx$

g) $\int_{-\frac{\prod} {2}}^{\frac{\prod}{2}}\sin 3xcos 5xdx$

=> Xem hướng dẫn giải

Câu 2:Trang 112 - sgk giải tích 12

Tính các tích phân sau:

a) $\int_{0}^{2}\left | 1-x \right | dx$

b) $\int_{0}^{\frac{\prod}{2}}\sin^{2}xdx$

c) $\int_{0}^{\ln 2}\frac{e^{2x+1+1}}{e^{x}} dx$

d) $\int_{0 }^{\prod}\sin 2x\cos^{2}xdx$

=> Xem hướng dẫn giải

Câu 3: Trang 113 - sgk giải tích 12

Sử dụng phương pháp biến đổi số, tính tích phân:

a) $\int_{0}^{3}\frac{x^{2}}{(1+x)^{\frac{3}{2}}}dx$ đặt $u=x+1$

b) $\int_{0}^{1}\sqrt{1-x^{2}} dx$ đặt $x=\sin t$

c) $\int_{0}^{1}\frac{e^{x}(1+x)}{1+xe^{x}} dx$ đặt $u=1+xe^{x}$

d) $\int_{0}^{\frac{a}{2}}\frac{1}{\sqrt{a^{2}-x^{2}}} dx$ , $(a>0)$ đặt $x=a\sin t$

=> Xem hướng dẫn giải

Câu 4:Trang 113 - sgk giải tích 12

Sử dụng phương pháp tích phân tưng phần, hãy tính tích phân:

a) $\int_{0}^{\frac{\prod}{2}}(x+1)\sin xdx$

b) $\int_{1}^{e}x^{2}\ln xdx$

c) $\int_{0}^{1}\ln(1+x)dx$

d) $\int_{0}^{1}(x^{2}-2x-1)e^{-x}dx$

=> Xem hướng dẫn giải

Câu 5:Trang 113 - sgk giải tích 12

Tính các tích phân sau:

a) $\int_{0}^{1}(1+3x)^{\frac{3}{2}}dx$

b) $\int_{0}^{\frac{1}{2}\frac{x^{3}-1}{x^{2}-1}}dx$

c) $\int_{1}^{2}\frac{\ln (1+x)}{x^{2}}dx$

=> Xem hướng dẫn giải

Câu 6:Trang 113 - sgk giải tích 12

Tính $\int_{0}^{1}x(1-x)^{5}dx$ bằng hai cách:

a) Đổi biến số $u=1-x$

b) Tích phân từng phần.

=> Xem hướng dẫn giải

Phần tham khảo mở rộng

Dạng 1: Tính tích phân dùng phương pháp đồng nhất hệ số với phân thức có mẫu ở dạng tích

=> Xem hướng dẫn giải

Dạng 2: Tính tích phân của những phân thức có bậc tử và bậc mẫu chênh lệch lớn.

=> Xem hướng dẫn giải

Dạng 3: Tính tích phân bằng phương pháp đưa về các phân thức có mẫu số là biểu thức bình phương

=> Xem hướng dẫn giải

Dạng 4: Tính tích phân của phân thức có bậc của tử số lớn hơn bậc mẫu số.

=> Xem hướng dẫn giải

=> Câu hỏi và bài tập trắc nghiệm toán 12 bài 2: tích phân

7 lượt xem

Cập nhật: 07/09/2021

Xem thêm bài viết khác

Xem thêm Giải tích lớp 12