Dạng 3: Xét dấu các hệ số của hàm bậc nhất trên bậc nhất, phân tích đồ thị hàm số.

Dạng 3: Xét dấu các hệ số của hàm bậc nhất trên bậc nhất, phân tích đồ thị hàm số.

Bài làm:

Xét đồ thị hàm số $y=\frac{ax+b}{cx+d}$ ($c\neq 0, ad-cb\neq 0$). Ta có:

a) Đồ thị có TCN là đường thẳng $y=\frac{a}{c}$ .

TCN nằm phía trên trục hoành $\Leftrightarrow \frac{a}{c}>0\Leftrightarrow a.c>0$ .
TCN nằm phía dưới trục hoành $\Leftrightarrow \frac{a}{c}<0\Leftrightarrow a.c<0$ .
TCN là trục hoành $\Leftrightarrow \frac{a}{c}=0\Leftrightarrow a.c=0$ .

b) Đồ thị có TCĐ là đường thẳng $x=\frac{-d}{c}$ .

TCĐ nằm bên phải trục tung $\Leftrightarrow \frac{-d}{c}>0\Leftrightarrow d.c<0$ ;
TCĐ nằm bên trái trục tung $\Leftrightarrow \frac{-d}{c}<0\Leftrightarrow d.c>0$ ;
TCĐ là trục tung $\Leftrightarrow \frac{-d}{c}=0\Leftrightarrow d=0$ .

c) Giao điểm của đồ thị với trục tung là điểm $M(0; \frac{b}{d})$ :

M nằm phía trên trục hoành $\Leftrightarrow \frac{b}{d}>0\Leftrightarrow b.d>0$ ;
M nằm phía dưới trục hoành $\Leftrightarrow \frac{b}{d}<0\Leftrightarrow b.d<0$ ;
M nằm thuộc trục hoành $\Leftrightarrow \frac{b}{d}=0\Leftrightarrow b=0$ .

Bài tập 1: Hàm số $y=\frac{ax+b}{cx+d}$ ($c\neq 0, ad-bc\neq 0$) có đồ thị như hình vẽ.

Chứng minh $\left\{\begin{matrix}ad>0\\ bc<0\end{matrix}\right.$ .

Bài giải:

Nhìn vào đồ thị ta thấy:

Đồ thị có TCN là đường thẳng $y=\frac{a}{c}$ , đường thằng này nằm phía trên trục hoành $\Leftrightarrow \frac{a}{c}>0\Leftrightarrow a.c>0$.
Đồ thị có TCĐ là đường thẳng $x=\frac{-d}{c}$ , đường thẳng nằm bên trái trục tung $\Leftrightarrow \frac{-d}{c}<0 \leftrightarrow d.c>0$.
Giao điểm của đồ thị với trục tung nằm bên dưới trục hoành $\Leftrightarrow \frac{b}{d}<0\Leftrightarrow b.d<0$ .

Ta chọn a > 0 nên suy ra $\left\{\begin{matrix}c>0\\ b<0\\ d>0\end{matrix}\right.$ . Do đó $\left\{\begin{matrix}ad>0\\ bc

Bài tập 2: Hàm số $y=\frac{ax+b}{cx+d}$ ($c\neq 0, ad-bc\neq 0$) có đồ thị như hình vẽ.

Xác định dấu của ad, bc.

Bài giải:

Nhìn vào đồ thị ta thấy:

Đồ thị có TCN là đường thẳng $y=\frac{a}{c}$ , đường thằng này nằm phía trên trục hoành $\Leftrightarrow \frac{a}{c}>0\Leftrightarrow a.c>0$.
Đồ thị có TCĐ là đường thẳng $x=\frac{-d}{c}$ , đường thẳng nằm bên phải trục tung $\Leftrightarrow \frac{-d}{c}>0\Leftrightarrow d.c
Giao điểm của đồ thị với trục tung nằm bên dưới trục hoành $\Leftrightarrow \frac{b}{d}<0\Leftrightarrow b.d<0$ .

Ta chọn a > 0 nên suy ra $\left\{\begin{matrix}c>0\\ b>0\\ d<0\end{matrix}\right.$ . Do đó $ad<0 ; bc>0$ .

Cập nhật: 07/09/2021

Xem thêm bài viết khác