Giải câu 5 bài 1: Sự đồng biến, nghịch biến của hàm số

Bài 5: Trang 10 - sgk giải tích 12

Chứng minh các bất đẳng thức sau

a) ($0

b) ($0

Bài làm:

a) Xét hàm số trên $(0,\frac{\pi }{2})$.

Ta có .

Hàm số có đạo hàm trên $(0,\frac{\pi }{2})$ và $f^{\prime }(x)>0$ với mọi $x\in (0,\frac{\pi }{2})$ do đó hàm số luôn đồng biến trên khoảng này.

Suy ra với thì $f(x)>f(0)=0$ hay $\tan x-x>0$.

Vậy với $x\in (0,\frac{\pi }{2})$.

b) Xét hàm số với $x\in (0,\frac{\pi }{2})$

Ta có .

Theo kết quả câu a ta có với mọi $x\in (0,\frac{\pi }{2})$ nên suy ra $g^{\prime }(x)={\tan }^{2}x-x^2>0$ với $x\in (0,\frac{\pi }{2})$

Do đó hàm số luôn đồng biến trên $(0,\frac{\pi }{2})$ $\Rightarrow g(x)>g(0)=0$ hay $\tan x>x+\frac{x^3}{3}$ với $0