Giải câu 5 bài 1: Sự đồng biến, nghịch biến của hàm số

Bài 5: Trang 10 - sgk giải tích 12

Chứng minh các bất đẳng thức sau

a) $\tan x >x$ ($0

b) $\tan x > x+\frac{x^{3}}{3}$ ($0

Bài làm:

a) Xét hàm số $y=f(x)=\tan x-x$ trên $(0, \frac{π}{2})$ .

Ta có $y'=f'(x)=\frac{1}{\cos ^{2}x}-1=\tan^{2}x>0 \: \forall x(0, \frac{\pi}{2})$ .

Hàm số $f(x)$ có đạo hàm trên $(0, \frac{π}{2})$ và $f^{'} (x) > 0$ với mọi $x \in (0, \frac{π}{2})$ do đó hàm số luôn đồng biến trên khoảng này.

Suy ra với $x \in (0, \frac{\pi}{2})$ thì $f (x) > f (0) = 0$ hay $\tan x - x > 0$ .

Vậy $\tan x>x$ với $x \in (0, \frac{π}{2})$ .

b) Xét hàm số $y=g(x)=\tan x -x -\frac{x^{3}}{3}$ với $x \in (0, \frac{π}{2})$

Ta có $y'=g'(x)=\frac{1}{\cos^{2}x}-1-x^{2}=\tan ^{2}x-x^{2}$ .

Theo kết quả câu a ta có $tan x >x$ với mọi $x \in (0, \frac{π}{2})$ nên suy ra $g^{'} (x) = \tan^{2} x - x^{2} > 0$ với $x \in (0, \frac{π}{2})$

Do đó hàm số $g(x)$ luôn đồng biến trên $(0, \frac{π}{2})$ $\Rightarrow g (x) > g (0) = 0$ hay $\tan x > x + \frac{x^{3}}{3}$ với $0

Cập nhật: 07/09/2021

Xem thêm bài viết khác