Dạng 2: Tìm điều kiện của tham số để hàm số bậc 3 đồng biến trên tập số thực.

Dạng 2: Cho hàm số . Tìm điều kiện của tham số để hàm số đồng biến trên $\mathbb{R}$.

Bài làm:

I. Phương pháp giải:

đồng biến trên $\mathbb{R}$ khi và chỉ khi $y^{\prime }\ge 0,\mathrm{\forall }x\in \mathbb{R}$.

Điều trên tương đương với

II. Bài tập áp dụng

Bài tập 1: Hàm số với $m$ là tham số. Có bao nhiêu giá trị nguyên của $m$ để hàm số nghịch biến trên $\mathbb{R}$?

Bài giải:

Ta có là tam thức bậc hai có ${\mathrm{\Delta }}^{{}^{\prime }}=m^2+12m+27$.

Hàm số nghịch biến trên khi và chỉ khi $y^{{}^{\prime }}\le 0,\mathrm{\forall }x\in \mathbb{R}$, tức là:

.

Vậy số giá trị nguyên của thỏa mãn là $7$.

Bài tập 2: Có bao nhiêu giá trị nguyên của để hàm số $y=(m^2-1)x^3+(m-1)m{x}^2-x+4$ nghịch biến trên $\mathbb{R}$?

Bài giải:

Ta thấy, điều kiện cần để hàm số trên nghịch biến trên là $m^2-1\le 0$ $\iff$ m$\in$ {-1;0;1}.

• , $y=-x^3-x^2-x+4$. Ta có, $y'=-3x^2-2x-1

Do đó, hàm số nghịch biến trên , (thoả mãn).

• , $y=-x+4$. Ta có, $y'=-1

Do đó, hàm số nghịch biến trên , (thoả mãn).

• , $y=-2x^2-x+4$.

Hàm số nghịch biến trên , đồng biến trên $(-\mathrm{\infty };\frac{-1}{4})$, (không thoả mãn).

Vậy số giá trị nguyên của thỏa mãn là $2$.