Dạng 4: Tính đơn điệu của hàm hợp

Dạng 4: Tìm điều kiện của tham số để hàm số đồng biến trên $(a;b)$.

Bài làm:

I. Phương pháp giải:

Bước 1: Đặt , đưa bài toán về hàm $f(t).$

Bước 2: Tìm tập giá trị của hàm . Giả sử tập giá trị bằng $(\alpha ;\beta )$. Khi đó

• Hàm đồng biến trên $(a;b)$ thì

đồng biến trên $(a;b)$ $\iff$ $f(t)$ đồng biến trên $(\alpha ;\beta )$.

• Hàm nghịch biến trên $(a;b)$ thì

đồng biến trên $(a;b)$ $\iff$ $f(t)$ nghịch biến trên $(\alpha ;\beta )$.

II. Bài tập áp dụng

Bài tập 1: Tìm sao cho hàm số $y=\frac{\tan x-2}{\tan x-m}$ đồng biến trên khoảng $(0;\frac{\pi }{4})$?

Bài giải:

Đặt ta có

• đồng biến trên khoảng $(0;\frac{\pi }{4})$.

• .

Bài toán tương đương với tìm để hàm số $y=\frac{t-2}{t-m}$ đồng biến trên khoảng $(0;1),$ nghĩa là

$\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l}m\leq 0 \1\leq m

Bài tập 2: Tìm sao cho hàm số $y=\frac{-\cos x+m}{\cos x-1}$ đồng biến trên khoảng $(0;\frac{\pi }{2})$?

Bài giải:

Đặt ta có

• nghịch biến trên khoảng $(0;\frac{\pi }{2})$.

• .

Bài toán tương đương với tìm để hàm số $y=\frac{-t+m}{t-1}$ nghịch biến trên khoảng $(0;1).$

Ta có $\iff$ $1-m<0$ $\leftrightarrow$ $m>1.$