Dạng 2: Tìm GTLN, GTNN của hàm số bằng cách đặt ẩn phụ

1 Đánh giá

Dạng 2: Tìm GTLN, GTNN của hàm số bằng cách đặt ẩn phụ

Bài làm:

I.Phương pháp giải

Đặt $t=k(x)$ .

Xác định điều kiện của t.

Đưa hàm số f(x) về hàm số g(t).

Tìm GTLN; GTNN của hàm g(t) rồi kết luận.

II.Bài tập vận dụng

Bài tập 1: Tìm GTLN và GTNN của hàm số $f(x)=\cos 2x+2\sin x -3$ trên $[\frac{- π}{6}; \frac{5 π}{6}]$ .

Bài giải:

Đặt $t=\sin x$ . Vì $x \in [\frac{- π}{6}; \frac{5 π}{6}]$ nên $t \in [\frac{- 1}{2}; 1] = T$ .

Khi đó $f(x)= -2t^2+2t-2=g(t).$

Ta có $g'(t)=-4t+2$ .

$g'(t)=0 \Leftrightarrow t=\frac{1}{2}$ .

Ta có: $g(\frac{-1}{2})=\frac{-7}{2}; g(\frac{1}{2})=\frac{-3}{2}; g(1)=-2$ .

Vậy:

$\underset{x}{max}$ $f (x) = \underset{t}{m a x} g (t) = g (\frac{1}{2}) = \frac{- 3}{2}$

$\underset{x}{min}$ $f (x) = \underset{t}{m i n} g (t) = g (\frac{- 1}{2}) = \frac{- 7}{2}$

Bài tập 2: Tìm GTLN và GTNN của hàm số $f(x)=\sqrt{5-x}+\sqrt{x-1}-\sqrt{(x-1)(5-x)}+5$ .

Bài giải:

Tập xác định D=[1; 5], X = D.

$Đặt t=\sqrt{5-x}+\sqrt{x-1}$

Khi đó: $t^{'}=\frac{-1}{2\sqrt{5-x}}+\frac{1}{2\sqrt{x-1}}=\frac{\sqrt{5-x}-\sqrt{x-1}}{2\sqrt{x-1}\sqrt{5-x}}$

$t^{'}=0\Leftrightarrow x=3$

$t(1)=2, t(3)=2\sqrt{2}, t(5)=2$

$\underset{[1; 5]}{max}t=2\sqrt{2} \underset{[1; 5]}{min}t=2.$

$\Rightarrow t\in [2; 2\sqrt{2}]$

$t^{2}=4+2\sqrt{(x-1)(5-x)}\Rightarrow \sqrt{(x-1)(5-x)}=\frac{t^{2}-4}{2}$

Vậy ta được:

$\Rightarrow g(t)\frac{-1}{2}t^{2}+t+7$

$g^{'}(t)=-t +1=0\Leftrightarrow t=1\in [2; 2\sqrt{2}]$

$g(2)=7, g(1)=\frac{15}{2}, g(2\sqrt{2})=3+2\sqrt{2}$

$\underset{x}{max}$ $f (x) = \underset{t}{m a x} g (t) = g (1) = \frac{- 3}{2}$

$\underset{x}{min}$ $f (x) = \underset{t}{m i n} g (t) = g (2 \sqrt{2}) = 3 + \sqrt{2}$

93 lượt xem

Cập nhật: 07/09/2021

Xem thêm bài viết khác

Xem thêm Giải tích lớp 12