Đáp án câu 5 đề 9 kiểm tra học kì 2 Toán 9

Câu 5(1 điểm): Với các số dương x, y, z, t thỏa mãn x + y + z + t = 4. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

A = $\frac{1}{x^{2} + 1} + \frac{1}{y^{2} + 1} + \frac{1}{z^{2} + 1} + \frac{1}{t^{2} + 1}$

Bài làm:

Với các số dương x, y, z, t

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si ta được:

$\frac{1}{x^{2} + 1} = 1 - \frac{x^{2}}{x^{2} + 1} \geq 1 - \frac{x^{2}}{2x} = 1 - \frac{x}{2}$

Dấu "=" xảy ra khi x = 1.

Tương tự ta có:

$\frac{1}{y^{2} + 1} \geq 1 - \frac{y}{2}$

$\frac{1}{z^{2} + 1} \geq 1 - \frac{z}{2}$

$\frac{1}{t^{2} + 1} \geq 1 - \frac{t}{2}$

Do đó:

A = $\frac{1}{x^{2} + 1} + \frac{1}{y^{2} + 1} + \frac{1}{z^{2} + 1} + \frac{1}{t^{2} + 1}$

$\geq 1 - \frac{x}{2} + 1 - \frac{y}{2} + 1 - \frac{z}{2} + 1 - \frac{t}{2}$

Mà x + y + z + t = 4 $\Rightarrow A \geq 2$

Vậy Min A = 2 khi x = y = z = t = 1.

Cập nhật: 08/09/2021

Xem thêm bài viết khác