Giải Câu 64 Bài 8: Đường tròn ngoại tiếp. Đường tròn nội tiếp

Câu 64: Trang 92 - SGK Toán 9 tập 2

Trên đường tròn bán kính lần lượt đặt theo cùng một chiều, kể từ điểm $A$, ba cung $\stackrel{⏜}{AB}$, $\stackrel{⏜}{BC}$, $\stackrel{⏜}{CD}$ sao cho: $sđ\stackrel{⏜}{AB}$=${60}^0$, $sđ\stackrel{⏜}{BC}$=${90}^0$, $sđ\stackrel{⏜}{CD}$=${120}^0$

a) Tứ giác là hình gì?

b) Chứng minh hai đường chéo của tứ giác vuông góc với nhau.

c) Tính độ dài các cạnh của tứ giác theo $R$.

Bài làm:

a) (góc nội tiếp chắn $\stackrel{⏜}{BCD}$) (1)

( góc nội tiếp chắn$\stackrel{⏜}{ABC}$ ) (2)

Từ (1) và (2) có:

(3)

Mà và $\widehat{A\mathrm{D}C}$ là hai góc trong cùng phía tạo bởi cát tuyến $AD$ và hai đường thẳng $AB,CD$.

=> . Do đó tứ giác $ABCD$ là hình thang.

Mà nội tiếp hình tròn nên là hình thang cân.

Vậy là hình thang cân.

( và $sđ\stackrel{⏜}{BC}$=$sđ\stackrel{⏜}{AD}$=${90}^0$)

b) Gọi là giao của hai đường chéo và $BD$.

là góc có đỉnh nằm trong đường tròn, chắn cung CD và cung AB, nên:

=$\frac{sđ\stackrel{⏜}{AB}+sđ\stackrel{⏜}{CD}}{2}$=$\frac{{60}^0+{120}^0}{2}={90}^0$

Vậy

c)

Vì = ${60}^0$ nên $\widehat{AOB}={60}^0$ (góc ở tâm)

Lại có: cân tại $O$ (vì $OA=OB=R$)

đều => $AB=R$

Ta có: cân tại $O$ (vì $OC=OD=R$)

lại có: = ${90}^0$ => $\widehat{COD}={90}^0$ => vuông cân tại O

=>

Vì là hình thang cân nên $AD=BC=R.\sqrt{2}$

Ta có: = ${120}^0$ => $\widehat{COD}={120}^0$

Từ kẻ $OH\perp CD,H\in CD$ =>

Trong vuông tại $H$ có:

Vậy các cạnh của tứ giác có độ dài: $BC=AD=R.\sqrt{2};AB=R;CD=R.\sqrt{3}$