Giải câu 11 bài ôn tập chương 4: Bất đẳng thức, bất phương trình sgk Đại số 10 trang 107

1 Đánh giá

Câu 11: trang 107 sgk Đại số 10

a) Bằng cách sử dụng hằng đẳng thức $a^2-b^2= (a-b)(a+b)$

Hãy xét dấu $f(x)= x^4– x^2+6x – 9$ và $g (x) = x^{2} - 2 x - \frac{4}{x^{2} - 2 x}$

b) Hãy tìm nghiệm nguyên của bất phương trình sau: $x(x^3– x + 6) > 9$

Bài làm:

a) Ta có

$f(x) = {x^4} - {x^2} + 6x - 9 = {\left( {{x^2}} \right)^2} - {\left( {x - 3} \right)^2} = \left( {{x^2} + x - 3} \right)\left( {{x^2} - x + 3} \right)$

Ta lại có ${{x^2} - x + 3} > 0, ∀x ∈\mathbb R$ ( vì \(a = 1> 0, Δ = 1- 4.3

$\Rightarrow f(x)$ cùng dấu với $x^{2} + x - 3$

Tam thức $x^2+x-3$ có hai nghiệm là $\frac{- 1 - \sqrt{13}}{2}; \frac{- 1 + \sqrt{13}}{2}$

Vậy

$f(x)>0$ khi $x < \frac{- 1 - \sqrt{13}}{2}$ hoặc $x > \frac{- 1 + \sqrt{13}}{2}$
$f(x)<0$ khi $\frac{- 1 - \sqrt{13}}{2} < x < \frac{- 1 + \sqrt{13}}{2}$

$g(x) = x^2– 2x - {4 \over {{x^2} - 2x}}$

$={{{{({x^2} - 2x)}^2} - {2^2}} \over {{x^2} - 2x}}$

$= {{({x^2} - 2x + 2)({x^2} - 2x - 2)} \over {{x^2} - 2x}}$

Ta lại có $x^2– 2x + 2 > 0 ,∀x ∈\mathbb R$

$\Rightarrow g(x)$ cùng dấu với $\frac{x^{2} - 2 x - 2}{x^{2} - 2 x}$

Tam thức $x^2-2x-2$ có hai nghiệm là $1 - \sqrt{3}; 1 + \sqrt{3}$

$x^2-2x$ có hai nghiệm là $x; 2$

Ta lập bảng xét dấu

Vậy

$g(x)>0$ khi $x \in (- \infty; 1 - \sqrt{3}) \cup (0; 2) \cup (1 + \sqrt{3}; + \infty)$
$g(x)>0$ khi $x \in (1 - \sqrt{3}; 0) \cup (2; 1 + \sqrt{3})$

b) $x({x^3} - x + 6) > 9$

$\Leftrightarrow {x^4} - {x^2} + 6x - 9 > 0$

$\Leftrightarrow {x^4} - {(x - 3)^2} > 0$

$\Leftrightarrow ({x^2} - x + 3)({x^2} + x - 3) > 0$

Ta có ${{x^2} - x + 3} > 0, ∀x ∈\mathbb R ( \text{vì} \,\,a = 1> 0, Δ = 1- 4.3<0)$

$\Rightarrow ({x^2} + x - 3) > 0 \Leftrightarrow \left[ \matrix{x < {{ - 1 - \sqrt {13} } \over 2} \hfill \cr x > {{ - 1 + \sqrt {13} } \over 2} \hfill \cr} \right.$

Vậy nghiệm nguyên của bất phương trình là $\left\{x\in \mathbb Z|x\le-3\text{ hoặc } x\ge2\right\}$

3 lượt xem

Cập nhật: 07/09/2021

Xem thêm bài viết khác

Xem thêm Giải bài tập Đại số lớp 10 chi tiết, dễ hiểu

Nhiều người quan tâm