Giải Câu 5 Bài 3: Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng

Câu 5: Trang 105 - SGK Hình học 11

Trên mặt phẳng cho hình bình hành $ABCD$. Gọi $O$ là giao điểm của $AC$ và $BD$. $S$ là một điểm nằm ngoài mặt phẳng sao cho $SA=SC,SB=SD$. Chứng minh rằng:

a) ;

b) Nếu trong mặt phẳng kẻ $SH$ vuông góc với $AB$ tại $H$ thì $AB$ vuông góc mặt phẳng $(SOH)$.

Bài làm:

a) Theo giả thiết: nên tam giác $SAC$ cân tại $S$.

lại có: là trung điểm của $AC$ nên $SO$ là đường trung tuyến đồng thời là đường cao của tam giác cân nên

Chứng minh tương tự với , $O$ là trung điểm của $BD$ ta có:

Ta có:

$$\begin{array}{c}SO\mathrm{\perp }BD\hfill \\ SO\mathrm{\perp }AC\hfill \\ BD\cap AC=\{\mathrm{O}\}\hfill \end{array}\}\Rightarrow SO\mathrm{\perp }(ABCD)$$

Hay (đpcm)

b) (1)

Mà (gt) (2)

Từ (1) và (2) ta có;

$$\begin{array}{c}SO\mathrm{\perp }AB\hfill \\ SH\mathrm{\perp }AB\hfill \\ SO\cap SH=\{\mathrm{S}\}\hfill \end{array}\}\Rightarrow AB\mathrm{\perp }(SHO)$$