Dạng 3: Giải phương trình mũ và lôgarit bằng phương pháp hàm số
Dạng 3: Giải phương trình mũ và lôgarit bằng phương pháp hàm số
Bài làm:
I. Phương pháp giải:
Cho I là một khoảng, một đoạn hoặc một khoảng.
- Số nghiệm của phương trình
là số điểm chung của đường thẳng $y=m$ với đồ thị hàm số $y=f(x).$
- Nếu hàm số
đơn điệu trên I thì phương trình $f(x)=m $ có tối đa một nghệm trên I.
- Nếu hàm số
đồng biến trên I, hàm số $y=g(x)$ nghịch biến trên I thì phương trình $f(x)=g(x) $ có tối đa một nghệm trên I.
- Nếu hàm số
đơn điệu trên I và u, v thuộc I thì phương trình $f(u)=f(v) $ tương đương với $u=v.$
II. Bài tập áp dụng
Bài tập 1: Tìm nghiệm của phương trình
Bài giải: Ta có,
(1)
Ta thấy, hàm số ở vế trái là hàm số nghịch biến, vế phải là hằng số. Nên phương trình có nhiều nhất một nghiệm. Mà là nghiệm. Vậy phương trình có nghiệm duy nhất là $x=1.$
Bài tập 2: Tính tổng tất cả các nghiệm thực của phương trình $2\sqrt{x}-\sqrt{1-x}=3.(\frac{2}{3})^x.$
Bài giải: ĐKXD: . Ta xét từng vế của phương trình:
- Xét hàm
. Ta có $y'=\frac{1}{\sqrt{x}} + \frac{1}{2. \sqrt{1-x}} >0$, $\forall x\in (0; 1)$. Vậy $f(x)$ đồng biến trên đoạn $[0;1]$.
- Vế phải của phương trình nghịch biến.
Suy ra phương trình trên có nhiều nhất một nghiệm. Mà là nghiệm của phương trình nên phương trình có nghiệm duy nhất là
. Vậy $T=1.$
Bài tập 3: Phương trình có bao nhiêu nghiệm thuộc đoạn $[0; 2\pi]$.
Bài giải: Phương trình đã cho tương đương với:
Trong đó, . Vì f(t) là tổng của hai hàm đồng biến nên f(t) là hàm đồng biến. Do đó:
.
Ta có .
Vậy phương trình có 4 nghiệm thuộc đoạn .
Xem thêm bài viết khác
- Giải câu 7 bài: Ôn tập chương 2
- Giải câu 4 bài 5: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số
- Giải bài 3: Phép chia số phức
- Giải câu 1 bài 2: Cực trị của hàm số
- Giải câu 6 bài: Số phức
- Dạng 1: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đường y=f(x) và y=g(x).
- Dạng 3: Giải phương trình mũ và lôgarit bằng phương pháp hàm số
- Dạng 4: Tính đơn điệu của hàm hợp
- Giải câu 12 bài: Ôn tập chương 4
- Dạng 1: Xét dấu các hệ số của hàm bậc bốn trùng phương, phân tích đồ thị hàm số.
- Giải bài 1: Sự đồng biến, nghịch biến của hàm số
- Giải bài 2: Cực trị của hàm số