Dạng 3: Giải phương trình mũ và lôgarit bằng phương pháp hàm số

Dạng 3: Giải phương trình mũ và lôgarit bằng phương pháp hàm số

Bài làm:

I. Phương pháp giải:

Cho I là một khoảng, một đoạn hoặc một khoảng.

• Số nghiệm của phương trình là số điểm chung của đường thẳng $y=m$ với đồ thị hàm số $y=f(x).$
• Nếu hàm số đơn điệu trên I thì phương trình $f(x)=m$ có tối đa một nghệm trên I.
• Nếu hàm số đồng biến trên I, hàm số $y=g(x)$ nghịch biến trên I thì phương trình $f(x)=g(x)$ có tối đa một nghệm trên I.
• Nếu hàm số đơn điệu trên I và u, v thuộc I thì phương trình $f(u)=f(v)$ tương đương với $u=v.$

II. Bài tập áp dụng

Bài tập 1: Tìm nghiệm của phương trình

Bài giải: Ta có,

(1)

Ta thấy, hàm số ở vế trái là hàm số nghịch biến, vế phải là hằng số. Nên phương trình có nhiều nhất một nghiệm. Mà là nghiệm. Vậy phương trình có nghiệm duy nhất là $x=1.$

Bài tập 2: Tính tổng tất cả các nghiệm thực của phương trình $2\sqrt{x}-\sqrt{1-x}=3.(\frac{2}{3}{)}^x.$

Bài giải: ĐKXD: . Ta xét từng vế của phương trình:

• Xét hàm . Ta có $y^{\prime }=\frac{1}{\sqrt{x}}+\frac{1}{2.\sqrt{1-x}}>0$, $\mathrm{\forall }x\in (0;1)$. Vậy $f(x)$ đồng biến trên đoạn $[0;1]$.
• Vế phải của phương trình nghịch biến.

Suy ra phương trình trên có nhiều nhất một nghiệm. Mà là nghiệm của phương trình nên phương trình có nghiệm duy nhất là . Vậy $T=1.$

Bài tập 3: Phương trình có bao nhiêu nghiệm thuộc đoạn $[0;2\pi ]$.

Bài giải: Phương trình đã cho tương đương với:

Trong đó, . Vì f(t) là tổng của hai hàm đồng biến nên f(t) là hàm đồng biến. Do đó:

.

Ta có .

Vậy phương trình có 4 nghiệm thuộc đoạn .