Giải câu 2 bài 1: Phương pháp quy nạp toán học

  • 1 Đánh giá

Câu 2: Trang 82 - sgk đại số và giải tích 11

Chứng minh rằng với n ε N* ta luôn có:

a) n3 + 3n2 + 5n chia hết cho 3;

b) 4n + 15n - 1 chia hết cho 9;

c) n3 + 11n chia hết cho 6.

Bài làm:

a) Đặt Sn = n3 + 3n2 + 5n

Với n = 1 thì S1 = 9 chia hết cho 3

Giả sử với n = k ≥ 1, có Sk = (k3 + 3k2 + 5k) 3

Xét với n = k + 1

Sk+1 = (k + 1)3 + 3(k + 1)2 + 5(k + 1)

= k3 + 3k2 + 3k + 1 + 3k2 + 6k + 3 + 5k + 5

= k3 + 3k2 + 5k + 3k2 + 9k + 9

hay Sk+1 = Sk + 3(k2 + 3k + 3)

mà Sk 3, 3(k2 + 3k + 3) 3 nên Sk+1 3.

Vậy (n3 + 3n2 + 5n) 3 với mọi n ε N* .

b) Đặt Sn = 4n + 15n - 1

Với n = 1, thì S1 9

Giả sử với n = k ≥ 1 có Sk= 4k + 15k - 1 chia hết cho 9.

Xét với n = k + 1

Sk+1 = 4k + 1 + 15(k + 1) – 1

= 4(4k + 15k – 1) – 45k + 18 = 4Sk – 9(5k – 2)

mà Sk 9 và 9(5k - 2) 9 => Sk+1 9

Vậy (4n + 15n - 1) 9 với mọi n ε N*

c) Đặt Sn = n3 + 11n

Với n = 1 thì S1 6

Giả sử với n = k ≥ 1 có Sk = k3 + 11k 6

Xét với n = k + 1 ta có:

Sk+1 = (k + 1)3 + 11(k + 1) = k3 + 3k + 3k + 1 + 11k + 11

= ( k3 + 11k) + 3(k2 + k + 4) = Sk + 3(k2 + k + 4)

mà Sk 6, mặt khác k2 + k + 4 = k(k + 1) + 1 là số chẵn nên 3(k2 + k + 4) 6 => Sk+1 6

Vậy n3 + 11n chia hết cho 6 với mọi n ε N* .

  • lượt xem
Cập nhật: 07/09/2021