Giải câu 4 bài 1: Đại cương về đường thẳng và mặt phẳng

Câu 4: Trang 53 - sgk hình học 11

Cho bốn điểm A, B, C và D không đồng phẳng. Gọi GA, GB, GC, GD lần lượt là trọng tâm của các tam giác BCD, CDA, ADB, ACB. Chứng minh rằng AG_A, BG_B, CG_C, DG_D đồng qui.

Bài làm:

Gọi M là trung điểm của CD.

Ta có . Gọi $I=A{G_A}^{}$ $\cap B{G_B}^{}$.

Dễ thấy = $\frac{M{G_B}^{}}{MA}=\frac{1}{3}$

=> ${G_B}^{}$ // AB và $\frac{IA}{I{G_A}^{}}$ = $\frac{AB}{{G_A{G_B}^{}}^{}}$ = 3

Tương tự, ta có cũng cắt $A{G_A}^{}$ tại I', I''

từ đó suy ra = 3, $\frac{I^{″}A}{I^{″}{G_A}^{}}$ = 3

=> I ≡ I' ≡ I''

=> đồng quy (đpcm)