Giải Câu 6 Bài 4: Hai mặt phẳng vuông góc

Câu 6: Trang 114 - SGK Hình học 11

Cho hình chóp có đáy $ABCD$ là một hình thoi cạnh $a$ và có $SA=SB=SC=a$. Chứng minh rằng:

a) Mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng $(SBD)$;

b) Tam giác là tam giác vuông.

Bài làm:

a) Gọi là giao điểm của hai đường chéo $AC$ và $BD$

Theo tính chất của hình thoi thì là trung điểm của $AC,BD$

Tam giác cân có

=> cân tại có $SO$ vừa là đường trung tuyến đồng thời là đường cao.

=> (1)

Mặt khác là hình thoi nên $AC\mathrm{\perp }BD$ (2)

Từ (1) và (2) suy ra

mà

b) Xét có:

=>

Do đó các đường trung tuyến ứng với các đỉnh tương ứng của hai tam giác bằng nhau

=>

Vì là trung điểm của $BD$ nên $OB=OD=\frac{1}{2}.BD$

Suy ra

=> Tam giác vuông tại $S$ (Đường trung tuyến ứng với một cạnh của tam giác và bằng nửa cạnh ấy thì tam giác đó là tam giác vuông)