Giải câu 6 bài ôn tập chương 4: Bất đẳng thức, bất phương trình sgk Đại số 10 trang 106

1 Đánh giá

Câu 6: trang 106 sgk Đại số 10

Cho $a, b, c > 0$ . Chứng minh rằng: ${{a + b} \over c} + {{b + c} \over a} + {{c + a} \over b} \ge 6$

Bài làm:

Biến đổi vế trái của bất đẳng thức ta được:

${{a + b} \over c} + {{b + c} \over a} + {{c + a} \over b}$

$=\frac{a}{c}+\frac{b}{c}+\frac{b}{a}+\frac{c}{a}+\frac{c}{b}+\frac{a}{b}$

$=\left ( {a \over c} + {c \over a} \right )+ \left ( {b \over c} + {c \over b} \right )+ \left ( {b \over a} + {a \over b} \right )$

Với $a, b, c > 0$ ,áp dụng bất đẳng thức Cô-si ta có:

$\left ( {a \over c} + {c \over a} \right )+ \left ( {b \over c} + {c \over b} \right )+ \left ( {b \over a} + {a \over b} \right ) \ge 2.\sqrt {{a \over c}.{c \over a}} + 2.\sqrt {{b \over c}.{c \over b}} + 2.\sqrt {{b \over a}.{a \over b}}$

$\Leftrightarrow ({a \over c} + {c \over a}) + ({b \over c} + {c \over b}) + ({b \over a} + {a \over b}) \geq 2.1 + 2.1 + 2.1 = 6$ (đpcm)

Vậy ${{a + b} \over c} + {{b + c} \over a} + {{c + a} \over b} \ge 6$

lượt xem

Cập nhật: 07/09/2021

Xem thêm bài viết khác

Xem thêm Giải bài tập Đại số lớp 10 chi tiết, dễ hiểu