Đáp án câu 4 đề 8 kiểm tra học kì II toán 8

Câu 4. Cho 2 số a và b thỏa mãn $a\geq 1$ ; $b\geq 1$. Chứng minh : $\frac{1}{1+a^{2}}+ \frac{1}{1+b^{2}}\geq \frac{2}{1+ab}$

Bài làm:

Câu 4.

Ta có: $\frac{1}{1+a^{2}}+\frac{1}{1+b^{2}}-\frac{2}{1+ab}$ = $(\frac{1}{1+a^{2}}-\frac{1}{1+ab})+(\frac{1}{1+b^{2}}-\frac{1}{a+ab})$

= $\frac{ab-a^{2}}{(1+a^{2})(1+ab)}+\frac{ab-b^{2}}{(1+b^{2})(1+ab)}$

= $\frac{a(b-a)(1+b^{2})+b(a-b)(1+a^{2})}{(1+a^{2})(1+b^{2})(1+ab)}$

= $\frac{(b-a)(a+ab^{2}-b+a^{2}b)}{(1+a^{2})(1+b^{2})(1+ab)}$ = $\frac{(b-a)^{2}(ab-1)}{(1+a^{2})(1+b^{2})(1+ab)}$

Do $a\geq 1$ ; $b\geq 1$ nên $\frac{(b-a)^{2}(ab-1)}{(1+a^{2})(1+b^{2})(1+ab)} \geq 0$

$\Rightarrow \frac{1}{1+a^{2}}+\frac{1}{1+b^{2}}-\frac{2}{1+ab}\geq 0$

$\Leftrightarrow \frac{1}{1+a^{2}}+\frac{1}{1+b^{2}}\geq \frac{2}{1+ab}$

Vậy $\frac{1}{1+a^{2}}+\frac{1}{1+b^{2}}\geq \frac{2}{1+ab}$

Cập nhật: 08/09/2021

Xem thêm bài viết khác