Đáp án câu 5 đề 1 kiểm tra học kì II toán 8
5. Chứng minh rằng nếu là các số dương và $a + b + c = 1$ thì:
+ $\left ( b + \frac{1}{b} \right )^{2}$ + $\left ( c + \frac{1}{c} \right )^{2}$ > $33$
Bài làm:
5. Với 3 số áp dụng bất đẳng thức Cosy ta có:
+ $B^{2}$ $\geq $ $2AB$; + $C^{2}$ $\geq $ $2AC$; $C^{2}$ + $B^{2}$ $\geq $ $2CB$;
$2(A^{2} + B^{2} + C^{2})$ $\geq $ $2(AB + BC + AC)$
cộng từng vế của bất đẳng thức trên với + $B^{2}$ + $C^{2}$
$3(A^{2} + B^{2} + C^{2})$ $\geq $ $\left (A + B +C \right )^{2}$
$A^{2} + B^{2} + C^{2}$ $\geq $ $\frac{\left (A + B +C \right )^{2}}{3}$
Đặt ; $B = b + \frac{1}{b}$; $C = c + \frac{1}{c}$ và vế trái là $P$, ta có:
$\geq $ $\frac{1}{3}$$\left ( a + \frac{1}{a} + b + \frac{1}{b} + c + \frac{1}{c}\right ) ^{2}$ = $\frac{1}{3}$$\left ( a + b + c + \frac{a+b+c}{a} + \frac{a+b+c}{b} + \frac{a+b+c}{c} \right ) ^{2}$
= \left ( 1 + 1 + \frac{b}{a} +\frac{c}{a} +1 + \frac{a}{b} + \frac{c}{b} + 1 + \frac{a}{c} + \frac{b}{c} \right ) ^{2}$
Vì
với $a>0$, $b>0$ nên $P$ $\geq $ $\frac{1}{3}$$\left ( 4+6 \right )^{2}$ = $\frac{100}{3}$ > $33$
Xem thêm bài viết khác
- Giải câu 4 bài 1: Mở đầu về phương trình sgk Toán 8 tập 2 trang 7
- Giải Câu 31 Bài 5: Trường hợp đồng dạng thứ nhất sgk Toán 8 tập 2 Trang 75
- Giải Câu 40 Bài 8: Diện tích xung quanh của hình chóp đều sgk Toán 8 tập 2 Trang 121
- Giải Câu 3 Bài 1: Định lí Ta-lét trong tam giác sgk Toán 8 tập 2 Trang 59
- Đáp án câu 5 đề 5 kiểm tra học kì II toán 8
- Giải câu 29 bài luyện tập sgk Toán 8 tập 2 trang 22
- Giải Câu 7 Bài 2: Định lí đảo và hệ quả của định lí Ta-lét sgk Toán 8 tập 2 Trang 62
- Giải Câu 51 Bài 8: Các trường hợp đồng dạng của tam giác vuông sgk Toán 8 tập 2 Trang 84
- Giải Câu 33 Bài 6: Trường hợp đồng dạng thứ hai sgk Toán 8 tập 2 Trang 77
- Giải Câu 19 Bài 4: Hình lăng trụ đứng sgk Toán 8 tập 2 Trang 108
- Đáp án câu 4 đề 6 kiểm tra học kì II toán 8
- Giải Câu 6 Bài: Ôn tập cuối năm Phần Hình học sgk Toán 8 tập 2 Trang 132