Đáp án câu 5 đề 1 kiểm tra học kì II toán 8

5. Chứng minh rằng nếu là các số dương và $a+b+c=1$ thì:

+ ${(b+\frac{1}{b})}^2$ + ${(c+\frac{1}{c})}^2$ > $33$

Bài làm:

5. Với 3 số áp dụng bất đẳng thức Cosy ta có:

+ $B^2$ $\ge$ $2AB$; + $C^2$ $\ge$ $2AC$; $C^2$ + $B^2$ $\ge$ $2CB$;

$2(A^2+B^2+C^2)$ $\ge$ $2(AB+BC+AC)$

cộng từng vế của bất đẳng thức trên với + $B^2$ + $C^2$

$3(A^2+B^2+C^2)$ $\ge$ ${(A+B+C)}^2$

$A^2+B^2+C^2$ $\ge$ $\frac{{(A+B+C)}^2}{3}$

Đặt ; $B=b+\frac{1}{b}$; $C=c+\frac{1}{c}$ và vế trái là $P$, ta có:

$\ge$ $\frac{1}{3}$${(a+\frac{1}{a}+b+\frac{1}{b}+c+\frac{1}{c})}^2$ = $\frac{1}{3}$${(a+b+c+\frac{a+b+c}{a}+\frac{a+b+c}{b}+\frac{a+b+c}{c})}^2$

= \left ( 1 + 1 + \frac{b}{a} +\frac{c}{a} +1 + \frac{a}{b} + \frac{c}{b} + 1 + \frac{a}{c} + \frac{b}{c} \right ) ^{2}$

Vì

với $a>0$, $b>0$ nên $P$ $\ge$ $\frac{1}{3}$${(4+6)}^2$ = $\frac{100}{3}$ > $33$