Đường thẳng đi qua các điểm cực trị

1 Đánh giá

Dạng 5: Cho hàm số $y = ax^{3} + bx^{2} + cx + d$ (C). Giả sử hàm số có hai điểm cực trị, gọi d là đường thẳng đi qua các điểm cực trị của (C). Ta xét một số câu hỏi liên quan đến đường thẳng d, chẳng hạn:

Nhận dạng đường thẳng nào là đường thẳng d;
Tìm điểm thuộc đường thẳng d.

Bài làm:

I.Phương pháp giải

Để giải quyết những bài toán dạng này, ta cần nắm được (xem lại điểm cực trị của đồ thị hàm bậc ba):

Cách lập phương trình đường thẳng d;
Một số tính chất của đường thẳng d.

Chú ý:

Hàm số bậc ba $y = ax^{3} + bx^{2} + cx + d$ .

Chia $f(x)$ cho $f (x)^{^{'}}$ ta được: $f(x)$ = $Q (x)$ . $f (x)^{^{'}}$ + Ax + B.

Khi đó nếu $(x_{1}; y_{1}), (x_{2}; y_{2})$ là hai điểm cực trị thì: $y_{1} = f_{1} = A x_{1} + B$ . và $y_{2} = f_{2} = A x_{2} + B$ .

Suy ra các điểm $(x_{1}; y_{1}), (x_{2}; y_{2})$ nằm trên đường thẳng $y = A x + B$ .

II.Bài tập vận dụng

Bài tập 1: Cho hàm số $y = -x^{3} + 3mx^{2} + 3(1 - m^{2})x + m^{3}-m^{2}$ . Viết phương trình đi qua hai điểm cực trị của hàm số đã cho.

Bài giải:

Ta có: $y^{'} = -3x^{2} + 6mx + 3(1-m^{2})$ .

Phương trình $y^{'}=0$ có $Δ^{^{'}} = 9 > 0$ , với mọi m $\Rightarrow$ đồ thị hàm số đã cho luôn có hai điểm cực trị $(x_{1}; y_{1}), (x_{2}; y_{2})$ .

Chia $y$ cho $y^{^{'}}$ ta được: $y = (\frac{1}{3} x - \frac{m}{3}) y^{^{'}} + 2 x - m^{2} + m$ .

Khi đó: $y_{1} = 2x_{1} - m^{2} + m$ ; $y_{2} = 2 x_{2} - m^{2} + m$ .

Vậy phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của hàm số đã cho là: $y = 2x - m^{2} + m$ .

Bài tập 2: Cho hàm số $y=x^{3}-3x^{2} + mx$ . Với giá trị nào của m thì đồ thị hàm số đã cho có các điểm cực đại và cực tiểu đối xứng nhau qua đường thẳng d: x -2y - 5 = 0.

Bài giải:

Ta có: $y^{'}=3x^{2}-6x+m$ .

Hàm số có cực đại và cực tiểu $\Leftrightarrow y^{'}=3x^{2}-6x+m = 0$ có hai nghiệm phân biệt $\Leftrightarrow Δ^{^{'}} = 9 - 3 m > 0 \Leftrightarrow m < 3$ .

Ta có: $y=(\frac{1}{3}x-\frac{1}{3})y^{'}+(\frac{2}{3}m-2)x+\frac{1}{3}m$ .

Do đó đường thẳng $\Delta$ đi qua các điểm cực trị có phương trình: $y = (\frac{2}{3} m - 2) x + \frac{1}{3} m$ .

$\Delta$ có hệ số góc là $k_{1} = \frac{2}{3} m - 2$ .

d: x -2y - 5 = 0 $\Leftrightarrow y=\frac{1}{2}x-\frac{5}{2}$ nên d có hệ số góc là $k_{2} = \frac{1}{2}$

Đồ thị hàm số đã cho có các điểm cực đại và cực tiểu đối xứng nhau qua đường thẳng d: x -2y - 5 = 0 nên $d\perp \Delta$ .

$\Leftrightarrow k_{1}.k_{2}=-1\Leftrightarrow \frac{1}{2}(\frac{2}{3}m-2)=-1\Leftrightarrow m=0$ .

Với m = 0 thì đồ thị hàm số đã cho có hai điểm cực trị là (0; 0) và (2; -4), nên trung điểm của chúng là I(1; -2).

Ta thấy I(1; -2) thuộc đường thẳng d: x -2y - 5 = 0 nên hai điểm cực trị của đồ thị hàm số đã cho đối xứng qua đường thẳng d.

Vậy m = 0.

56 lượt xem

Cập nhật: 07/09/2021

Xem thêm bài viết khác

Xem thêm Giải tích lớp 12

Nhiều người quan tâm