Đường thẳng đi qua các điểm cực trị

Dạng 5: Cho hàm số (C). Giả sử hàm số có hai điểm cực trị, gọi d là đường thẳng đi qua các điểm cực trị của (C). Ta xét một số câu hỏi liên quan đến đường thẳng d, chẳng hạn:

• Nhận dạng đường thẳng nào là đường thẳng d;
• Tìm điểm thuộc đường thẳng d.

Bài làm:

I.Phương pháp giải

Để giải quyết những bài toán dạng này, ta cần nắm được (xem lại điểm cực trị của đồ thị hàm bậc ba):

• Cách lập phương trình đường thẳng d;
• Một số tính chất của đường thẳng d.

Chú ý:

Hàm số bậc ba .

Chia cho $f(x{)}^{{}^{\prime }}$ ta được: = $Q(x)$.$f(x{)}^{{}^{\prime }}$ + Ax + B.

Khi đó nếu là hai điểm cực trị thì:$y_1=f_1=A{x}_1+B$. và $y_2=f_2=A{x}_2+B$.

Suy ra các điểm nằm trên đường thẳng $y=Ax+B$.

II.Bài tập vận dụng

Bài tập 1: Cho hàm số . Viết phương trình đi qua hai điểm cực trị của hàm số đã cho.

Bài giải:

Ta có: .

Phương trình có ${\mathrm{\Delta }}^{{}^{\prime }}=9>0$, với mọi m $\Rightarrow$ đồ thị hàm số đã cho luôn có hai điểm cực trị $(x_1;y_1),(x_2;y_2)$.

Chia cho $y^{{}^{\prime }}$ ta được: $y=(\frac{1}{3}x-\frac{m}{3})y^{{}^{\prime }}+2x-m^2+m$.

Khi đó: ; $y_2=2x_2-m^2+m$.

Vậy phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của hàm số đã cho là: .

Bài tập 2: Cho hàm số . Với giá trị nào của m thì đồ thị hàm số đã cho có các điểm cực đại và cực tiểu đối xứng nhau qua đường thẳng d: x -2y - 5 = 0.

Bài giải:

Ta có: .

Hàm số có cực đại và cực tiểu có hai nghiệm phân biệt $\iff {\mathrm{\Delta }}^{{}^{\prime }}=9-3m>0\iff m<3$.

Ta có: .

Do đó đường thẳng đi qua các điểm cực trị có phương trình: $y=(\frac{2}{3}m-2)x+\frac{1}{3}m$.

có hệ số góc là $k_1=\frac{2}{3}m-2$.

d: x -2y - 5 = 0 nên d có hệ số góc là $k_2=\frac{1}{2}$

Đồ thị hàm số đã cho có các điểm cực đại và cực tiểu đối xứng nhau qua đường thẳng d: x -2y - 5 = 0 nên .

.

Với m = 0 thì đồ thị hàm số đã cho có hai điểm cực trị là (0; 0) và (2; -4), nên trung điểm của chúng là I(1; -2).

Ta thấy I(1; -2) thuộc đường thẳng d: x -2y - 5 = 0 nên hai điểm cực trị của đồ thị hàm số đã cho đối xứng qua đường thẳng d.

Vậy m = 0.