Giải Câu 10 Bài Câu hỏi ôn tập chương 3

Câu 10: Trang 120 - SGK Hình học 11

Chứng minh rằng tập hợp các điểm cách đều ba đỉnh của một tam giác là đường vuông góc với mặt phẳng $(ABC)$ và đi qua tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác .

Bài làm:

• Lấy một điểm bất kì trong không gian sao cho $MA=MB=MC$. Từ kẻ $MO$ vuông góc với $(ABC)$. Các tam giác vuông $MOA$, $MOB$, $MOC$ bằng nhau, suy ra $OA=OB=OC$.

Do đó là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$. Vậy các điểm $M$ cách đều ba đỉnh của tam giác $ABC$ nằm trên đường thẳng $d$ đi qua tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$ và vuông góc với mặt phẳng $(ABC)$.

• Ngược lại, lấy một điểm , với là đường thẳng qua tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$ và $\perp (ABC)$

Nối ,

Do chung và $OA=OB=OC$ nên các tam giác vuông $M^{\prime }OA,M^{\prime }OB,M^{\prime }OC$ bằng nhau, suy ra $M^{\prime }A=M^{\prime }B=M^{\prime }C$,

Tức là điểm cách đều ba đỉnh $A,B,C$ của tam giác $ABC$.

Kết luận: Tập hợp các điểm cách đều ba đỉnh của tam giác là đường thẳng vuông góc với mặt phẳng $(ABC)$ và đi qua tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác .