Giải Câu 5 Bài: Bài tập ôn tập chương 3

Câu 5: Trang 121 - SGK Hình học 11

Tứ diện có hai mặt $ABC$ và $ADC$ nằm trong hai mặt phẳng vuông góc với nhau. Tam giác $ABC$ vuông tại $A$ có $AB=a,AC=b$. Tam giác $ADC$ vuông tại $D$ có $CD=a$.

a) Chứng minh các tam giác và $BDC$ đều là tam giác vuông

b) Gọi và $K$ lần lượt là trung điểm của $AD$ và $BC$. Chứng minh $IK$ là đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng $AD$ và $BC$.

Bài làm:

a)

• Chứng minh vuông

Theo giả thiết: mà hai mặt phẳng này giao nhau theo giao tuyến $AC$.

Ta lại có và $BA\perp AC$ nên $BA\perp (ADC)$

Vì vuông tại $A$

• Chứng minh: vuông

(Định lí 3 đường vuông góc)

vuông tại $D$

b) Chứng minh: là đoạn vuông góc chung của $AD,BC$

Xét và $\mathrm{\Delta }CAD$ có:

chung

=>

=> (hai trung tuyến tương ứng của hai tam giác bằng nhau)

=> cân tại $I$

có: là trung điểm $BC$ => $IK$ đồng thời là đường cao trong $\mathrm{\Delta }IBC$

=> (1)

Chứng minh tương tự, ta có:

=>

=> cân tại $K$

có: là trung điểm $AD$ => $KI$ đồng thời là đường cao trong $\mathrm{\Delta }KAD$

=> (2)

Từ (1) (2) => là đoạn vuông góc chung của $AD.BC$.