Giải Câu 5 Bài: Bài tập ôn tập chương 3

Câu 5: Trang 121 - SGK Hình học 11

Tứ diện có hai mặt \(ABC\) và \(ADC\) nằm trong hai mặt phẳng vuông góc với nhau. Tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\) có \(AB = a, AC = b\). Tam giác \(ADC\) vuông tại \(D\) có \(CD = a\).

a) Chứng minh các tam giác và \(BDC\) đều là tam giác vuông

b) Gọi và \(K\) lần lượt là trung điểm của \(AD\) và \(BC\). Chứng minh \(IK\) là đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng \(AD\) và \(BC\).

Bài làm:

a)

• Chứng minh vuông

Theo giả thiết: mà hai mặt phẳng này giao nhau theo giao tuyến \(AC\).

Ta lại có và \(BA⊥ AC\) nên \(BA⊥(ADC)\)

Vì vuông tại \(A\)

• Chứng minh: vuông

(Định lí 3 đường vuông góc)

vuông tại \(D\)

b) Chứng minh: là đoạn vuông góc chung của $AD,BC$

Xét và $\Delta CAD$ có:

chung

=>

=> (hai trung tuyến tương ứng của hai tam giác bằng nhau)

=> cân tại $I$

có: là trung điểm $BC$ => $IK$ đồng thời là đường cao trong $\Delta IBC$

=> (1)

Chứng minh tương tự, ta có:

=>

=> cân tại $K$

có: là trung điểm $AD$ => $KI$ đồng thời là đường cao trong $\Delta KAD$

=> (2)

Từ (1) (2) => là đoạn vuông góc chung của $AD.BC$.