Dạng 1: Giải phương trình mũ và lôgarit bằng phương pháp đặt ẩn phụ

Phần tham khảo mở rộng

Dạng 1: Giải phương trình mũ và lôgarit bằng phương pháp đặt ẩn phụ

Bài làm:

I. Phương pháp giải:

Xét phương trình:

(1)

Trong đó, là các số dương, khác 1. Giả sử cùng là luỹ thừa với số mũ nguyên của a(00)$, phương trình (1) trở thành:

(2)

Ta có:

• Phương trình (1) có nghiệm khi và chỉ khi phương trình (2) có nghiệm dương.
• Nếu là một nghiệm dương của (2) thì nghiệm tương ứng của (1) là $x_0$ thoả mãn $t_0=a^{x_0}$ hay $x_0={\log }_a(t_0).$

II. Bài tập áp dụng

Bài tập 1: Tính tổng T tất cả các nghiệm của phương trình

Bài giải: Đặt phương trình đã cho trở thành

(1)

Giải phương trình (1) ta có hai nghiệm và $t_2=4-2\sqrt{3}$.

Khi đó

Vậy

Bài tập 2: Tìm giá trị thực của tham số để phương trình $9^x-{2.3}^{x+1}+m=0$ có hai nghiệm thực $x_1;x_2$ thoả mãn $x_1+x_2=1.$

Bài giải: Đặt (t>0), phương trình đang xét trở thành:

(1)

Mỗi nghiệm x của phương trình ban đầu ứng với một nghiệm của phương trình (1).

Giả sử và $t_2=3^{x_2.}$

Khi đó . Theo định lý Vi-et, $t_1.t_2=m$. Do đó $m=3.$

Bài tập 3: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số để phương trình $(3+2\sqrt{2}{)}^x+(3-2\sqrt{2}{)}^x=m$ có nghiệm.

Bài giải: Ta có

Do đó, nếu đặt thì $(3-2\sqrt{2}{)}^x=\frac{1}{t}$. Khi đó phương trình trở thành

Phương trình x có nghiệm khi và chỉ khi phương trình t có nghiệm dương.

Áp dụng Vi-et ta thấy nên nếu một nghiệm dương thì cả hai nghiệm đều dương.

Khi đó điều kiện để phương trình t có nghiệm dương là:

Vậy .