Dạng 1: Giải phương trình mũ và lôgarit bằng phương pháp đặt ẩn phụ
Phần tham khảo mở rộng
Dạng 1: Giải phương trình mũ và lôgarit bằng phương pháp đặt ẩn phụ
Bài làm:
I. Phương pháp giải:
Xét phương trình:
(1)
Trong đó, là các số dương, khác 1. Giả sử cùng là luỹ thừa với số mũ nguyên của a(00)$, phương trình (1) trở thành:
(2)
Ta có:
- Phương trình (1) có nghiệm khi và chỉ khi phương trình (2) có nghiệm dương.
- Nếu là một nghiệm dương của (2) thì nghiệm tương ứng của (1) là $x_0$ thoả mãn $t_0=a^{x_0}$ hay $x_0=\log_a(t_0).$
II. Bài tập áp dụng
Bài tập 1: Tính tổng T tất cả các nghiệm của phương trình
Bài giải: Đặt phương trình đã cho trở thành
(1)
Giải phương trình (1) ta có hai nghiệm và $t_2=4-2\sqrt{3}$.
Khi đó
Vậy
Bài tập 2: Tìm giá trị thực của tham số để phương trình $9^x-2.3^{x+1}+m=0$ có hai nghiệm thực $x_1; x_2$ thoả mãn $x_1+x_2=1.$
Bài giải: Đặt (t>0), phương trình đang xét trở thành:
(1)
Mỗi nghiệm x của phương trình ban đầu ứng với một nghiệm của phương trình (1).
Giả sử và $t_2=3^{x_2.}$
Khi đó . Theo định lý Vi-et, $t_1.t_2=m$. Do đó $m=3.$
Bài tập 3: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số để phương trình $(3+2\sqrt{2})^x+(3-2\sqrt{2})^x=m$ có nghiệm.
Bài giải: Ta có
Do đó, nếu đặt thì $(3-2\sqrt{2})^x=\frac{1}{t}$. Khi đó phương trình trở thành
Phương trình x có nghiệm khi và chỉ khi phương trình t có nghiệm dương.
Áp dụng Vi-et ta thấy nên nếu một nghiệm dương thì cả hai nghiệm đều dương.
Khi đó điều kiện để phương trình t có nghiệm dương là:
Vậy .
Xem thêm bài viết khác
- Dạng 3: Giải phương trình mũ và lôgarit bằng phương pháp hàm số
- Giải câu 5 bài 5: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số
- Giải câu 1 bài: Ứng dụng của tích phân trong hình học
- Giải câu 2 bài: Phương trình mũ. Phương trình Lôgarit
- Giải câu 5 bài: Ứng dụng của tích phân trong hình học
- Toán 12: Đề kiểm tra học kì 2 dạng trắc nghiệm (Đề 10)
- Giải câu 2 bài: Phép chia số phức
- Dạng 2: Tính tích phân của những phân thức có bậc tử và bậc mẫu chênh lệch lớn.
- Dạng 1: Tìm điều kiện của tham số để hàm phân thức đồng biến trên từng khoảng xác định
- Dạng 1: Chứng minh đẳng thức chứa lôgarit
- Dạng 3: Tìm điều kiện của tham số để hàm số đồng biến trên một khoảng
- Giải câu 12 bài: Ôn tập chương 4