Giải Câu 1 Bài Ôn tập cuối năm

Câu 1: Trang 125 - SGK Hình học 11

Trong mặt phẳng tọa độ , cho các điểm $A(1;1),B(0;3),C(2;4)$ .Xác định ảnh của tam giác $ABC$ qua các phép biến hình sau.

a) Phép tịnh tiến theo vectơ .

b) Phép đối xứng qua trục

c) Phép đối xứng qua tâm .

d) Phép quay tâm góc ${90}^0$.

e) Phép đồng dạng có được bằng cách thực hiện liên tiếp phép đối xứng qua trục và phép vị tự tâm $O$ tỉ số $k=-2$

Bài làm:

a) Trong phép tịnh tiến theo vectơ thì các đỉnh $A,B,C$ có ảnh là các điểm tương ứng $A^{\prime },B^{\prime },C^{\prime }$.

Từ biểu thức tọa độ

$\{\begin{array}{c}{x}^{\prime }=2+x\hfill \\ y^{\prime }=1+y\hfill \end{array}$

Ta có:

Dễ thấy đỉnh $B^{\prime }$ của $∆A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ trùng với đỉnh $C$ của $∆ABC$.

Ảnh của tam giác trong phép tịnh tiến theo vectơ $\overrightarrow{v}$ là tam giác $A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$có ba đỉnh $A^{\prime }(3;2),B^{\prime }(2;4),C^{\prime }(4;5)$

b) Qua phép đối xứng trục , biểu thức tọa độ là :

$\{\begin{array}{c}{x}^{\prime }=x\hfill \\ y^{\prime }=-y\hfill \end{array}$

Do đó ta có: có các đỉnh $A^{\prime }(1;-1),B^{\prime }(0;-3),C^{\prime }(2;-4)$

c) Trong phép đối xứng qua tâm , đỉnh $A\to A^{\prime }$ thì $I$ là trung điểm của $A{A}^{\prime }$. Gọi tọa độ $A^{\prime }$ là $(x;y)$ thì:

$\begin{array}{rl}& 2=\frac{1+x}{2}\Rightarrow x=3\\ & 1=\frac{1+y}{2}\Rightarrow y=1\end{array}$

Tương tự, ta có ảnh của các đỉnh $B,C$ là $B^{\prime }(4;-1),C^{\prime }(2;-2)$

d) Trong phép quay tâm , góc quay ${90}^0$ thì tia $Ox$ biến thánh tia $Oy$, tia $Oy$ biến thành tia $Ox$

Điểm

e) Thực hiện phép đối xứng qua trục rồi thực hiện phép vị tự tâm $O$, tỉ số $k=-2$

• Trong phép đối xứng qua , biểu thức tọa độ là :

\(\left\{ \matrix{
x' = - x \hfill \cr

y' = y \hfill \cr} \right.\)

biến thành $∆A_1{B}_1{C}_1$, ta có:

• Với phép vị tự tâm tỉ số $k=-2$ thì $∆A_1{B}_1{C}_1\to ∆A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$

Vậy trong phép đồng dạng đã cho thì có ảnh là $∆A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ với $A^{\prime }(2;-2),B^{\prime }(0;-6),C^{\prime }(4;-8)$