Giải câu 3 bài 1: Phương pháp quy nạp toán học

Câu 3: Trang 82 - sgk đại số và giải tích 11

Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n ≥ 2, ta có các bất đẳng thức:

a) 3ⁿ > 3n + 1;

b) 2^{n + 1} > 2n + 3

Bài làm:

a) Với n = 2 ta thấy bất đẳng thức đúng

Giả sử bất đẳng thức đúng với n = k ≥ 2, hay 3^k > 3k + 1 (*)

Nhân hai vế của (*) với 3, ta được:

3^{k + 1} > 9k + 3 <=> 3^{k + 1} > 3k + 4 + 6k -1.

Vì 6k - 1 > 0 => 3^{k + 1} > 3k + 4 hay 3^{k + 1} > 3(k + 1) + 1.

=> bất đẳng thức đúng với n = k + 1.

Vậy 3ⁿ > 3n + 1 với mọi số tự nhiên n ≥ 2.

b) Ta thấy với n = 2 thì bất đẳng thức đúng

Giả sử bất đẳng thức đúng với n = k ≥ 2 hay 2^{k + 1} > 2k + 3 (**)

Nhân hai vế của bất đẳng thức (**) với 2, ta được:

2^{k + 2} > 4k + 6 <=> 2^{k + 2} > 2k +5 + 2k + 1.

Vì 2k + 1> 0 nên 2^{k + 2} > 2k + 5

Vậy 2^{n + 1} > 2n + 3 với mọi số tự nhiên n ≥ 2.