Giải Câu 4 Bài: Ôn tập chương 3 sgk Hình học 10 Trang 93

1 Đánh giá

Câu 4: Trang 93 - SGK Hình học 10

Cho đường thẳng $Δ: x – y + 2$ và hai điểm $O (0; 0); A (2; 0)$

a) Tìm điểm đối xứng của $O$ qua $Δ$ .

b) Tìm điểm $M$ trên $Δ$ sao cho độ dài đường gấp khúc $O M A$ ngắn nhất.

Bài làm:

Giải Câu 4 Bài: Ôn tập chương 3 - sgk Hình học 10 Trang 93

a) Gọi $H$ là hình chiếu của $O$ trên $Δ, H$ là giao điểm của đường thẳng qua $O$ và vuông góc với $Δ$ .

$\overline {OH} = (x;y)$

$Δ: x – y + 2 = 0$ có vecto chỉ phương $\vec{u} (1; 1)$

$\overrightarrow {OH} \bot \Delta \Rightarrow 1.x + 1.y = 0 \Leftrightarrow x + y = 0$

Tọa độ điểm $H$ là nghiệm của hệ phương trình:

$\left\{ \matrix{x + y = 0 \hfill \cr x - y + 2 = 0 \hfill \cr} \right. \Rightarrow H( - 1;1)$

Gọi $O’$ là đỉnh đối xứng của $O$ qua $Δ$ thì $H$ là trung điểm của đoạn thẳng $O O^{'}$

$\eqalign{& {x_H} = {{{x_O} + {x_{O'}}} \over 2} \Leftarrow - 1 = {{0 + {x_{O'}}} \over 2} \Rightarrow {x_{O'}} = - 2 \cr & {y_H} = {{{y_O} + {y_{O'}}} \over 2} \Leftarrow - 1 = {{0 + {y_{O'}}} \over 2} \Rightarrow {y_{O'}} = 2 \cr}$

Vậy $O’(-2;2)$ .

b) Nối $O’A$ cắt $Δ$ tại $M$

Ta có: $OM = O’M$

$⇒ OM + MA = O’M + MA = O’A$

Giả sử trên $Δ$ có một điểm $M^{'} \neq M$ , ta có ngay:

$OM’ +M’A > O’A$

Vậy điểm $M$ , giao điểm của $O^{'} A$ với $Δ$ , chính là điểm thuộc $Δ$ mà độ dài của đường gấp khúc $O M A$ ngắn nhất.

$A(2; 0); O(-2; 2)$ nên $O^{'} A$ có hệ phương trình: $x + 2 y - 2 = 0$

Tọa độ của điểm $M$ là nghiệm của hệ:

$\left\{ \matrix{x + 2y - 2 = 0 \hfill \cr x - y + 2 = 0 \hfill \cr} \right. \Rightarrow M( - {2 \over 3},{4 \over 3})$

lượt xem

Cập nhật: 07/09/2021

Xem thêm bài viết khác

Xem thêm Giải bài tập Hình học lớp 10 chi tiết, dễ hiểu

Nhiều người quan tâm

Giải Câu 2 Bài: Ôn tập cuối năm sgk Hình học 10 Trang 98