Giải Bài 3: Phương trình đường elip sgk Hình học 10 Trang 85

Bài học giới thiệu nội dung: Phương trình đường elip. Một kiến thức không quá khó song đòi hỏi các bạn học sinh cần nắm được phương pháp để giải quyết các bài toán. Dựa vào cấu trúc SGK hình học lớp 10, KhoaHoc sẽ tóm tắt lại hệ thống lý thuyết và hướng dẫn giải các bài tập 1 cách chi tiết, dễ hiểu. Hi vọng rằng, đây sẽ là tài liệu hữu ích giúp các em học tập tốt hơn.

A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT

1. Định nghĩa đường elip

Định nghĩa: Trong mặt phẳng, cho hai điểm cố định và \(F_2\)

Elip là tập hợp các điểm sao cho tổng \(F_1M +F_2M = 2a\) không đổi.

Các điểm và \(F_2\) gọi là tiêu điểm của elip.

Khoảng cách gọi là tiêu cự của elip.

2. Phương trình chính tắc của elip

Cho elip có tiêu điểm và \(F_2\) chọn hệ trục tọa độ \(Oxy\) sao cho \(F_1(-c ; 0)\) và \(F_2(c ; 0)\). Khi đó người ta chứng minh được:

elip \(\Rightarrow\frac{x^{2}}{a^{2}}\) + \(\frac{y^{2}}{b^{2}} = 1\) (1)

trong đó:

Phương trình (1) gọi là phương trình chính tắc của elip

3. Hình dạng của elip

Xét elip có phương trình (1):

a) Nếu điểm thuộc \((E)\) thì các điểm \(M_1(-x ; y) M_2(x ;- y)\) và \(M_3(-x ; -y)\) cũng thuộc \((E)\).

Vậy có các trục đối xứng là \(Ox, Oy\) và có tâm đối xứng là gốc \(O\).

b) Thay vào (1) ta có \(x = ±a\) suy ra \((E)\) cắt \(Ox\) tại hai điểm \(A_1(-a ; 0) A_2(a ;0)\).

Tương tự thay vào (1) ta được \(y = ±b\), vậy \((E)\) cắt \(Oy\) tại hai điểm \( B_1(0 ; -b) B_2(0 ;b)\).

Các điểm gọi là các đỉnh của elip

Đoạn thẳng gọi là trục lớn, đoạn thẳng \(B_1,B_2\) gọi là trục nhỏ của elip.

4. Liên hệ giữa đường tròn và đường elip

Nếu tiêu cự của elip càng nhỏ thì càng gần $a$, tức là trục nhỏ của elip càng gần bằng trục lớn. Lúc đó elip có dạng gần như hình tròn.