Giải bài: Ôn tập chương III - phương pháp tọa độ trong không gian

1 Đánh giá

Đây là bài ôn tập chương 3, chương cuối cùng trong chương trình hình học 12 với nội dung: Phương pháp tọa độ trong không gian. Dựa vào cấu trúc SGK toán lớp 12, KhoaHoc sẽ tóm tắt lại hệ thống lý thuyết và hướng dẫn giải các bài tập 1 cách chi tiết, dễ hiểu. Hi vọng rằng, đây sẽ là tài liệu hữu ích giúp các em học tập tốt hơn

A. Tổng hợp kiến thức

I. Biểu thức tọa độ của các phép toán vectơ

Trong không gian Oxyz cho hai vectơ $\overrightarrow{a}(a_{1};a_{2};a_{3})$ và $\overrightarrow{b}(b_{1};b_{2};b_{3})$. Ta có:

$\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}=(a_{1}+b_{1};a_{2}+b_{2};a_{3}+b_{3})$

$\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}=(a_{1}-b_{1};a_{2}-b_{2};a_{3}-b_{3})$

$k\overrightarrow{a}=k(a_{1};a_{2};a_{3})$ với k là số thực

==> Hệ quả:

$\overrightarrow{a}=\overrightarrow{b}<=>a_{1}=b_{1};a_{2}=b_{2};a_{3}=b_{3}$

$\overrightarrow{0}=(0;0;0)$

$\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}$ cùng phương <=> $a_{1}=kb_{1};a_{2}=kb_{2};a_{3}=kb_{3}$

$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}=(x_{B}-x_{A};y_{B}-y_{A};z_{B}-z_{A})$

II. Tích vô hướng

Định lí

Trong không gian Oxyz, tích vô hướng của hai vectơ $\overrightarrow{a}(a_{1};a_{2};a_{3})$ và $\overrightarrow{b}(b_{1};b_{2};b_{3})$ xác định bởi:

$\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}=(a_{1}.b_{1}+a_{2}.b_{2}+a_{3}.b_{3})$

Ứng dụng

Độ dài vectơ:

$\overrightarrow{a}=\sqrt{a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+a_{3}^{2}}$

Khoảng cách giữa hai điểm: Trong không gian Oxyz cho $A(x_{A},y_{A},z_{A})$ và $B(x_{B},y_{B},z_{B})$, ta có:

$AB=\left | \overrightarrow{AB} \right |=\sqrt{(x_{B}-x_{A})^{2}+(y_{B}-y_{A})^{2}+(z_{B}-z_{A})^{2}}$

Góc giữa hai vectơ: Góc giữa $\overrightarrow{a}(a_{1};a_{2};a_{3})$ và $\overrightarrow{b}(b_{1};b_{2};b_{3})$ là $\varphi $

$\cos\varphi =\cos (\overrightarrow{a},\overrightarrow{b})=\frac{a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+a_{3}b_{3}}{\sqrt{a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+a_{3}^{2}}.\sqrt{b_{1}^{2}+b_{2}^{2}+b_{3}^{2}}}$

Đặc biệt:

$\overrightarrow{a}\perp \overrightarrow{b}<=> a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+a_{3}b_{3}=0$

III. Phương trình mặt cầu

Định lí

Trong không gian Oxyz, mặt cầu S có tâm I( a; b; c ) bán kính r có phương trình là:

$(x-a)^{2}+(y-b)^{2}+(z-c)^{2}=r^{2}$

IV. Phương trình mặt phẳng

Phương trình tổng quát của mặt phẳng:

$Ax+By+Cz+D=0$ với $A,B,C\neq 0$.

Điều kiện hai mặt phẳng song song, vuông góc

1. Điều kiện hai mặt phẳng song song

$(\alpha _{1})//(\alpha _{2})<=>\left\{\begin{matrix}\overrightarrow{n_{1}}=k\overrightarrow{n_{2}} & \\ D_{1}\neq kD_{2} & \end{matrix}\right.<=> \left\{\begin{matrix}(A_{1};B_{1};C_{1})=k(A_{2};B_{2};C_{2}) & \\ D_{1}\neq kD_{2} & \end{matrix}\right.$
$(\alpha _{1})\equiv (\alpha _{2})<=>\left\{\begin{matrix}\overrightarrow{n_{1}}=k\overrightarrow{n_{2}} & \\ D_{1}= kD_{2} & \end{matrix}\right.<=> \left\{\begin{matrix}(A_{1};B_{1};C_{1})=k(A_{2};B_{2};C_{2}) & \\ D_{1}= kD_{2} & \end{matrix}\right.$
$(\alpha _{1})$ cắt $(\alpha _{2})$ <=> $\overrightarrow{n_{1}}\neq k\overrightarrow{n_{2}}<=>(A_{1};B_{1};C_{1})\neq k(A_{2};B_{2};C_{2}) $

2. Điều kiện hai mặt phẳng vuông góc

$(\alpha _{1})\perp (\alpha _{2})<=>\overrightarrow{n_{1}}.\overrightarrow{n_{2}}=0<=>A_{1}.A_{2}+B_{1}.B_{2}+C_{1}.C_{2}=0$

Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng

Định lí

Trong không gian Oxyz, cho mp( $(\alpha )$ có phương trình $Ax+By+Cz+D=0$ và điểm $M_{0}(x_{0};y_{0};z_{0})$. Khoảng cách từ M đến mp( $(\alpha )$ xác định bởi công thức:

$d(M_{0},(\alpha ))=\frac{\left | Ax_{0}+By_{0}+Cz_{0}+D \right |}{\sqrt{A^{2}+B^{2}+C^{2}}}$

V. Phương trình tham số của đường thẳng

Điều kiện cần và đủ để điểm $M(x;y;z)$ nằm trên $\Delta $ là có một số thực $t$ sao cho:

$\left\{\begin{matrix}x=x_{0}+ta_{1} & & \\ y=y_{0}+ta_{2} & & \\ z=z_{0}+ta_{3} & & \end{matrix}\right.$

Điều kiện để hai đường thẳng song song, cắt nhau, chéo nhau

1. Hai đường thẳng song song

Bài Ôn tập chương III

d // d' <=> $d//d'<=>\left\{\begin{matrix}\overrightarrow{a}=k\overrightarrow{a'} & & \\ M \in d & & \\ M \notin d' & & \end{matrix}\right.$
$d \equiv d'<=>\left\{\begin{matrix}\overrightarrow{a}=k\overrightarrow{a'} & & \\ M \in d & & \\ M \in d' & & \end{matrix}\right.$

2. Hai đường thẳng cắt nhau

Cho d: $\left\{\begin{matrix}x=x_{0}+ta_{1} & & \\ y=y_{0}+ta_{2} & & \\ z=z_{0}+ta_{3} & & \end{matrix}\right.$ và d': $\left\{\begin{matrix}x=x_{0}'+t'a_{1}' & & \\ y=y_{0}'+t'a_{2}' & & \\ z=z_{0}'+t'a_{3}' & & \end{matrix}\right.$

$d$ và $d'$ cắt nhau <=> $\left\{\begin{matrix}x_{0}+ta_{1}=x_{0}'+t'a_{1}' & & \\ y_{0}+ta_{2}=y_{0}'+t'a_{2}' & & \\ z_{0}+ta_{3}=z_{0}'+t'a_{3}' & & \end{matrix}\right.$ có đúng một nghiệm.

3. Hai đường thẳng chéo nhau

$d$ và $d'$ chéo nhau <=> $\left\{\begin{matrix}x_{0}+ta_{1}=x_{0}'+t'a_{1}' & & \\ y_{0}+ta_{2}=y_{0}'+t'a_{2}' & & \\ z_{0}+ta_{3}=z_{0}'+t'a_{3}' & & \end{matrix}\right.$ vô nghiệm.

B. BÀI TẬP VÀ HƯỚNG DẪN GIẢI

Câu 1: Trang 91 - sgk hình học 12

Cho bốn điểm A(1; 0; 0), B(0; 1; 0), C(0; 0; 1), D(-2; 1; -1)

a) Chứng minh A, B, C, D là bốn đỉnh của một tứ diện.

b) Tìm góc giữa hai đường thẳng AB và CD.

c) Tính độ dài đường cao của hình chóp A.BCD.

=> Xem hướng dẫn giải

Câu 2: Trang 91, 92 - sgk hình học 12

Cho mặt cầu (S) có đường kính là AB biết rằng A(6; 2; -5), B(-4; 0; 7)

a) Tìm tọa độ tâm I và bán kính r của mặt cầu (S).

b) Lập phương trình của mặt cầu (S).

c) Lập phương trình của mặt phẳng ( $\alpha$ ) tiếp xúc với mặt cầu (S) tại điểm A.

=> Xem hướng dẫn giải

Câu 3: Trang 92 - sgk hình học 12

Cho bốn điểm A(-2; 6; 3), B(1; 0; 6), C(0; 2; -1), D(1; 4; 0)

a) Viết phương trình mặt phẳng (BCD). Suy ra ABCD là một tứ diện.

b) Tính chiều cao AH của tứ diện ABCD.

c) Viết phương trình mặt phẳng ( $\alpha$ ) chứa AB và song song với CD.

=> Xem hướng dẫn giải

Câu 4: Trang 92 - sgk hình học 12

Lập phương trình tham số của đường thẳng:

a) Đi qua hai điểm A(1, 0 , -3) và B( 3, -1, 0).

b) Đi qua điểm M(2,3, -5) và // với đường thẳng $\Delta$ .

phương trình $\Delta$ : $\left\{\begin{matrix}x=-2+2t & & \\ y=3-4t& & \\ z=-5t& & \end{matrix}\right.$

=> Xem hướng dẫn giải

Câu 5: Trang 92 - sgk hình học 12

Cho mặt cầu(S) có phương trình $(x-3)^{2}+(y+2)^{2}+(z-1)^{2}=100$ và mặt phẳng ($\alpha$) có phương trình $2x – 2y – z + 9 = 0$. Mp($\alpha$) cắt mặt cầu (S) theo một đường tròn (C). Hãy xác định tọa độ tâm và tính bán kính của đường tròn (C).

=> Xem hướng dẫn giải

Câu 6: Trang 92 - sgk hình học 12

Cho mặt phẳng ( $\alpha$ ) có phương trình: $3x + 5y -z - 2 =0$ và đường thẳng (d) có phương trình:

$\left\{\begin{matrix}x=12+4t & & \\ y=9+3t& & \\ z=1+t& & \end{matrix}\right.$

a. Tìm giao điểm M của (d) và mặt phẳng( $\alpha$ )

b. Viết phương trình mặt phẳng ( $\beta$ ) chứa điểm M và vuông góc với (d).

=> Xem hướng dẫn giải

Câu 7: Trang 92, 93 - sgk hình học 12

Cho đường thẳng (d) có phương trình : $\left\{\begin{matrix}x=1+3t & & \\ y=-1+2t& & \\ z=3-5t& & \end{matrix}\right.$

Cho điểm A(-1, 2, -3) và $\vec{a}=(6,-2,-3)$ .

a. Viết phương trình mặt phẳng ( $\alpha$ ) chứa điểm A và vuông góc với giá của $\vec{a}$.

b. Tìm giao điểm của (d) và ( $\alpha$ ).

c. Viết phương trình đường thẳng $\Delta$ đi qua điểm A , vuông góc với $\vec{a}$ và cắt (d).

=> Xem hướng dẫn giải

Câu 8: Trang 93 - sgk hình học 12

Viết phương trình mặt phẳng ( $\alpha$ ) tiếp xúc với mặt cầu (S): $x^{2}+y^{2}+z^{2}-10x+2y+26z+170=0$ và // với hai đường thẳng:

(d) : $\left\{\begin{matrix}x=-5+2t & & \\ y=1-3t& & \\ z=-13+2t& & \end{matrix}\right.$

(d') : $\left\{\begin{matrix}x=-7+3t & & \\ y=-1-2t& & \\ z=8& & \end{matrix}\right.$

=> Xem hướng dẫn giải

Câu 9: Trang 93 - sgk hình học 12

Tìm tọa độ điểm H là hình chiếu vuông góc của điểm M(1; -1; 2) trên mặt phẳng ( $\alpha$ ): $2x – y + 2z + 11 = 0$.

=> Xem hướng dẫn giải

Câu 10: Trang 93 - sgk hình học 12

Cho điểm M(2; 1; 0) và mặt phẳng ( $\alpha$ ): $x + 3y – z – 27 = 0$. Tìm tọa độ điểm M' đối xứng với M qua ( $\alpha$ ).

=> Xem hướng dẫn giải

Câu 11: Trang 93 - sgk hình học 12

Viết phương trình đường thẳng ∆ vuông góc với mặt phẳng tọa độ Oxz và cắt hai đường thẳng:

(d) : $\left\{\begin{matrix}x=t & & \\ y=-4+t& & \\ z=3-t& & \end{matrix}\right.$ và (d') : $\left\{\begin{matrix}x=1-2t' & & \\ y=-3+t'& & \\ z=4-5t'& & \end{matrix}\right.$