Giải Bài: Ôn tập chương III - Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng

Bài học tổng quát toàn bộ nội dung chương 3: Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng. Dựa vào cấu trúc SGK toán lớp 10, KhoaHoc sẽ tóm tắt lại hệ thống lý thuyết và hướng dẫn giải các bài tập một cách chi tiết, dễ hiểu. Hi vọng rằng, đây sẽ là tài liệu hữu ích giúp các em học tập tốt hơn.

A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT

1. Phương trình đường thẳng

• Phương trình tham số của đường thẳng: : \(\left\{\begin{matrix} x= x_{0}+t.a& \\ y= y_{0}+t.b& \end{matrix}\right.\) với vecto chỉ phương \(\vec{u} = (a;b)\)
• Phương trình tổng quát của đường thẳng: với vecto pháp tuyến \(\vec{n} = (a;b)\)

Trường hợp đặc biệt

• Nếu
• Nếu
• Nếu đi qua gốc tọa độ.
• Nếu cắt \(Ox\) tại \((a; 0)\) và \(Oy\) tại \(B (0; b)\) thì ta có phương trình đường thẳng theo đoạn chắn: \(\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1\)

Vị trí tương đối của hai đường thẳng

Xét hai đường thẳng ∆₁ và ∆₂ có phương trình tổng quát lần lượt là: a₁x+b₁y + c₁ = 0 và a ₂+ b₂y +c₂ = 0.

Điểm là điểm chung của ∆₁ và ∆₂ khi và chỉ khi là nghiệm của hệ hai phương trình:

(1)

Ta có các trường hợp sau:

a) Hệ (1) có một nghiệm: ∆₁ cắt ∆₂

b) Hệ (1) vô nghiệm: ∆₁ // ∆₂

c) Hệ (1) có vô số nghiệm: ∆₁ ∆₂

Góc giữa hai đường thẳng

Cho hai đường thẳng ∆₁ = a₁x+b₁y + c₁ = 0

∆₂ = a ₂+ b₂y +c₂ = 0⁰

Đặt = \(\widehat{\Delta _{1},\Delta _{2}}\)

= \(\frac{|a_{1}.a_{2}+b_{1}.b_{2}|}{\sqrt{{a_{1}}^{2}+{b_{1}}^{2}}\sqrt{{a_{2}}^{2}+{b_{2}}^{2}}}\)

Khoảng cách từ 1 điểm đến đường thẳng

Trong mặt phẳng cho đường thẳng \(∆\) có phương trình \(ax+by+c-0\) và điểm \(M_0(x_0 ;y_0)\). Khoảng cách từ điểm \(M_0\) đến đường thẳng \(∆\) kí hiệu là \(d(M_0,∆)\), được tính bởi công thức:

2. Phương trình đường tròn

• Phương trình đường tròn có tâm \(I(a; b)\,\ \) bán kính là:

• Phương trình đường tròn có thể được viết dưới dạng:

trong đó

• Phương trình tiếp tuyến tại một điểm của đường tròn

Cho điểm nằm trên đường tròn \((C)\) tâm \(I(a; b)\). Gọi \(∆\) là tiếp tuyến với \((C)\) tại \(M_0\).

Phương trình là :

3. Phương trình đường elip

• Elip là tập hợp các điểm sao cho tổng \(F_1M +F_2M = 2a\) không đổi.

Với các điểm và \(F_2\) gọi là tiêu điểm của elip.

Khoảng cách gọi là tiêu cự của elip.

• Phương trình chính tắc của elip

Cho elip có tiêu điểm và \(F_2\) chọn hệ trục tọa độ \(Oxy\) sao cho \(F_1(-c ; 0)\) và \(F_2(c ; 0)\). Khi đó người ta chứng minh được: \(M(x ; y) \in\) elip \(\Rightarrow\frac{x^{2}}{a^{2}}\) + \(\frac{y^{2}}{b^{2}} = 1\) (1)

trong đó:

Phương trình (1) gọi là phương trình chính tắc của elip.

• Các điểm gọi là các đỉnh của elip.
• Độ dài trục lớn:
• Độ dài trục bé: